رياضيات الوحدة الثالثة

وكالة الغوث الدولية
دائرة التربية و التعليم / غزة
مركز التطوير التربوي






مجمع تعليمي حول
الأعداد النسبية

إعداد المعلم / عبد القادر الأطرش

مستوى/ الصف السابع




يوليو / 2004م



مرحباً بك عزيزي الدارس إلى هذا المجمع الذي يتناول موضوع / الأعداد النسبية .
يتوقع منك عزيزي الدارس في نهاية هذا المجمع أن تكون قادراً على أن:

1ـ تتعرف مجموعة الأعداد النسبية .
2ـ تكتب العدد النسبي في أبسط صورة .
3ـ تتعرف العدد النسبي الموجب والعدد النسبي السالب .
4ـ تكتب صوراً مختلفة للعدد النسبي .
5ـ تتعرف العددين النسبيين المتكافئين .
6ـ تقارن بين عددين نسبيين بمجرد النظر .
7ـ تقارن بين عددين نسبيين عن طريق توحيد المقامات .
8ـ تقارن بين عددين نسبيين عن طريق الضرب التبادلي .
9ـ ترتب عدة أعداد نسبية تصاعدياً وتنازلياً .
10ـ تمثل العدد النسبي على خط الأعداد .
11ـ تجمع عددين نسبيين .
12ـ تستنتج خواص عملية الجمع في الأعداد النسبية .
13ـ تطرح عدداً نسبياً من عدد نسبي آخر .
14ـ تضرب عدداً نسبياً في عدد نسبي آخر .
15ـ تستنتج خواص عملية الضرب في الأعداد النسبية .
16ـ تقسم عدداً نسبياً علي عدد نسبي آخر .
17ـ تجد الجذر التربيعي لعدد نسبي .
18ـ تجد الجذر التكعيبي لعدد نسبي .
19ـ تقدِّر الجذر التربيعي لعدد نسبي .
20ـ تقدِّر الجذر التكعيبي لعدد نسبي .




اختبار القبلي
تعليمات الاختبار :

1- يقع الاختبار في صفحتين
2- الدرجة النهائية 35 درجة .
3- الوقت المخصص ساعة واحدة .
4- الإجابة على نفس الصفحة .
5- بعد الانتهاء من الاختبار قيم نفسك من دليل الإجابات الموجود في نهاية المجمع.
6- لا تنظر إلى دليل الإجابات قبل الانتهاء من أداء الاختبار.
7- في حالة حصولك على 28 درجة فأكثر فلا داعي لدراسة هذا المجمع . أما إذا حصلت على أقل من 28 درجة يجب عليك دراسة هذا المجمع . ثم حل الاختبار الموجود في نهاية المجمع.



















اختبار قبلي في مجموعة الأعداد النسبية

السؤال الأول: ( 6 درجات ) درجة واحدة لكل بند
ضع علامة (  ) أمام العبارة الصحيحة و علامة (  ) أمام العبارة الخطأ:
1- ( ) العدد – 5 عدد نسبي .
2- ( ) العدد عدد نسبي سالب .

3- ( ) العدد عدد نسبي في أبسط صورة .

4- ( ) <
5- ( ) العدد النسبي يكافئ العدد النسبي

6- ( ) الصفر عدد محايد ضربي في مجموعة الأعداد النسبية .

السؤال الثاني: ( 5 درجات ) درجة واحدة لكل بند
اختر الإجابة الصحيحة من بين القوسين :
1) العدد النسبي يكافئ العدد النسبي ............ [ ، ، ، ]

2) ( + ) + = + ( + ) هي خاصية .........
[المحايد ، الإبدال ، التجميع ، التوزيع ]
3) العدد النسبي الذي يقع بين العددين ، هو ... [ ، ، ، ]

4) × ( + ) = × + × هي خاصية ...........
[ الانغلاق ، الإبدال ، التجميع ، التوزيع ]
5) العدد غير النسبي هو ............... [ - 7 ، ، ، ]

السؤال الثالث: (8 درجات) درجتان لكل بند
أ) أكتب العدد النسبي في أبسط صورة .

ب) مثل العدد النسبي على خط الأعداد .
ج) أكتب عددين نسبيين كل منهما يساوي

د) رتب الأعداد النسبية الآتية تصاعدياً : ، ، ،


السؤال الرابع 8 درجات ) درجتان لكل بند
جد ناتج ما يلي :
1) + =


2) - =


3) × =


4) ÷ =

السؤال الخامس: ( 8 درجات ) درجتان لكل بند

أولاً) جد ما يلي : أ)


ب)

ثانياً) قِّدر ما يلي :

1- 29

2- 025,

نشاط رقم ( 1 )

عزيزي الدارس: سوف تتعرف في هذا النشاط على مجموعة الأعداد النسبية .



عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :

1- تذكر أعداداً صحيحة و أعداداً طبيعية .
2- العلاقة بين الأعداد الطبيعية و الأعداد الصحيحة .

تعريف : كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي كل من بسطه و مقامه عدد صحيح و مقامه لا يساوي صفراً يسمى عدداً نسبياً .

مثال : ، ، ، ، ، 3 ، - 4 أعداد نسبية .

تدريب :

بين أي الأعداد الآتية عدد نسبي و أيها عدد غير نسبي :

، ، ، ، ، ، 11 ، حيث س  0


7 ، - 9 ، حيث ط هي النسبة التقريبية.






نشاط رقم ( 2 )

عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على كتابة العدد النسبي في أبسط صورة

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية :
1- تضرب عدداً صحيحاً في عدد صحيح آخر .
2- تجد العامل المشترك الأعلى بين عددين صحيحين .

تعريف : يقال للعدد النسبي أنه في أبسط صورة إذا كان :
1) مقامه ب عدد صحيح موجب .
2) لا توجد عوامل مشتركة بين حديه أ ، ب سوى ±1
مثال 1 : الأعداد النسبية الآتية :
، ، - ، -4 ، 8 أعداد في أبسط صورة لأن مقام كل منها موجب والعامل المشترك بين حدي كل منها ±1 .
مثال 2 : الأعداد النسبية الآتية :
، - ، ، ، ، حيث أ ≠ 0 ليست في أبسط صورة ( لأنه يوجد اختصار بين البسط والمقام أو المقام سالب ) .
تدريب : أي الأعداد النسبية الآتية في أبسط صورة :
، ، ، ، ، - ، ، ،

ملاحظة : لوضع العدد النسبي في أبسط صورة :
1- نجعل المقام عددا موجبا بضرب حدي النسبة في -1 .
2- نقسم كلا من البسط والمقام على العامل المشترك الأعلى بينهما إن وجد .
مثال:
العدد النسبي أبسط صورة له هي حيث = =

العدد النسبي أبسط صورة له لأن =

العدد النسبي أبسط صورة له لأن = حيث س  0

تدريبات : اكتب الأعداد النسبية الآتية في أبسط صورة :
، ، ، ، ، ، ، ، ،
نشاط رقم ( 3 )

عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على العدد النسبي الموجب والعدد النسبي السالب



عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية :

تذكر قاعدة الإشارات في ضرب الأعداد الصحيحة .


تعريف: يكون العدد النسبي
1) موجبا إذا كان حاصل ضرب حديه عدداً موجباً . أي إذا كان أ × ب > 0 وفي هذه الحالة يكون حدا العدد النسبي لهما نفس الإشارة .

2) سالبا إذا كان حاصل ضرب حديه عددا سالباً . أي إذا كان أ × ب < 0 وفي هذه الحالة يكون حدا العدد النسبي مختلفي الإشارة ( أحدهما موجب والآخر سالب ) .

مثال: العدد النسبي موجب لان 3×4= 12 >0 ( لاحظ أن 3 ، 4 لهما نفس الإشارة )

العدد النسبي سالب لان -3×8= -24 < 0 ( لاحظ أن -3 ، 8 مختلفي الإشارة )



تدريب :
بين أي الأعداد النسبية الآتية موجبا وأيها سالبا :
، ، ، -4 ، ، ، ، ، ،




نشاط رقم ( 4 )

عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على كتابة صور مختلفة للعدد النسبي


عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية :1- تضرب عدد صحيح في عدد صحيح آخر .
2- تقسم عدد صحيح على عدد صحيح آخر .
مثال 1 : اكتب أربعة أعداد نسبية تساوي العدد النسبي
الحل : بضرب كل من حدي العدد النسبي في أي عدد صحيح عدا الصفر .

= = ، =

، = ، =

إذن = = = = = ......إلخ

مثال 2 : اكتب ثلاثة أعداد نسبية تساوي العدد النسبي
الحل : بقسمة كل من حدي العدد النسبي على عدد صحيح عدا الصفر .

 = ، =

، = =

تدريبات :
1) اكتب ثلاثة أعداد نسبية كل منها يساوي العدد النسبي

2) اكتب أربعة أعداد نسبية كل منها يساوي العدد النسبي -

3) اكتب خمسة أعداد نسبية كل منها يساوي العدد النسبي 7
4) اكتب ثلاثة أعداد نسبية كل منها يساوي العدد النسبي


نشاط رقم ( 5 )

عزيزي الدارس :سوف نتعرف في هذا النشاط على العددين النسبيين المتكافئين (المتساويين)

عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية : تضرب عدداً صحيحاً في عدد صحيح آخر .

تعريف : يتكافأ العددان النسبيان ، إذا كان أ × د = ب × ج .
تعريف آخر : يتكافأ العددان النسبيان إذا كانا صورتين مختلفتين لنفس العدد النسبي في أبسط صورة .

مثال 1 : هل العددان النسبيان ، متكافئان ؟
الحل : 30 × 20 = 60 ، 4 × 15 = 60
إذن =

حل آخر : = =

= =
( لاحظ عزيزي الدارس أننا وضعنا كلا العددين النسبيين في أبسط صورة )
إذن ، عددان نسبيان متكافئان .

مثال 2 : هل العددان النسبيان ، متكافئان ؟
الحل : 5 × 7 = 35 ، 9 × 4 = 36 ، إذن ، عددان غير متكافئين
( أي أن ≠ ) .

أنشطة : أي أزواج الأعداد النسبية الآتية متكافئة :-
1) ، 2) ،

3) ، 4) ،

5) ، 6) ،

7) ، ،
نشاط رقم ( 6 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تقارن بين عددين نسبيين بمجرد النظر .

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
1- العلاقة بين الصفر و الأعداد الصحيحة الموجبة و السالبة .
2- العلاقة بين البسط و المقام في العدد النسبي.

مثال : * 1 > 3 لأن العدد النسبي الموجب أكبر من العدد النسبي السالب .

* 5 < 7 لأن العدد الصحيح 5 أصغر من العدد الصحيح 7 .

* > لأن المقامين متساويين ، و بسط الأول أكبر من بسط الثاني .

* = لأن 2 × 10 = 5 × 4 أو بضرب بسط و مقام الكسر الأول في 2

* < لأن بسط الأول أصغر من مقامه و بالتالي فهو أصغر من 1
بينما بسط الثاني أكبر من مقامه و بالتالي فهو أكبر من 1 .
تدريبات
ضع إشارة > أو < أو = لتحصل على عبارة صحيحة
1) - 5 4 7) 2

2) 3 9

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 2 7 12) -
نشاط رقم ( 7 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تقارن بين عددين نسبيين عن طريق توحيد المقامات .

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :

المضاعف المشترك لعدة أعداد طبيعية .


مثال : قارن بين العددين النسبيين : ،
تلاحظ عزيزي الطالب أننا لا نستطيع المقارنة بصورة مباشرة أو بمجرد النظر و لذالك نوحد المقامات
بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 9 ، 8 و هو 72

= =


= = و تصبح المقارنة بين ،

و حيث أن 56 > 45 فهذا يعني أن : > أي أن : >

تدريب(1) : قارن بين كل زوج من الأعداد النسبية الآتية بوضع إشارة > أو < أو = في الفراغ:

1)

2)

3)

4)

5) - -
تابع نشاط رقم ( 7 )

مثال ( 2 ) قارن بين العددين ،

الحل: نوحد المقامات بإيجاد المضاعف المشترك . ماذا تلاحظ أليس العدد كبيراً لذلك نضع كل عدد في
أبسط صورة كالآتي :

= = ، = =

فقارن بين العددين ، أليس ذلك أسهل ؟
 المضاعف المشترك الأصغر هو 12

= = ، = =

بما أن < < أي أن <

تدريب (2 ) : قارن بين كل زوج من الأعداد النسبية الآتية بوضع إشارة > أو < أو = في الفراغ

1-

2-

3-

4-

5-

6-

نشاط رقم ( 8 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تقارن بين عددين نسبيين عن طريق
الضرب التبادلي.

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
1- تضرب عدداً صحيحاً في عدد صحيح آخر.
2- تقارن بين عددين صحيحين .

مثال (1) : قارن بين العددين ، بوضع إشارة > أو < أو =

الحل: 3 × 6 = 18 ، 5 × 4 = 20 وحيث أن 18 < 20  <

مثال (2 ) : قارن بين العددين ،

الحل: قبل المقارنة يجب وضع العددين في أبسط صورة
نقارن بين ،  - 9 × 1 = - 9 ، 2 × - 5 = - 10

- 9 > - 10  >

تدريبات : قارن بين كل زوج من الأعداد النسبية الآتية بوضع إشارة > أو < أو = في الفراغ المعطى
1) 6)


2) 7)


3)

4) 9)

5) 10)
نشاط رقم ( 9 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن ترتب أعداداًً نسبية تصاعدياً أو تنازلياً.


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
1- تجد المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد صحيحة .
2- تقارن بين عددين صحيحين .
مثال (1) : رتب الأعداد النسبية الآتية تصاعدياً
، ،
الحل: نوحد المقامات حيث أن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 3 ، 2 ، 5 هو 30

= =

= =

= =

و حيث أن 6 < 15 < 20  < <

 < <

تدريبات :أولاً) رتب الأعداد النسبية الآتية تصاعدياً ثانياً) رتب الأعداد الآتية تنازلياً من الأكبر إلى الأصغر
1) ، ، 1) ، ، ، 2


2) ، ، 2) - 2 ، 3 ، ،


3) ، ، 3) ، ، ،

4) - ، - ، 4) ، ،

5) - ، - ، -1 ، - 8 , 5) ، ،
نشاط رقم ( 10 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تمثل العدد النسبي على خط الأعداد .


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
تمثل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد .


مثال (1) : مثل العدد النسبي على خط الأعداد
الحل: العدد النسبي يقع بين 0 ، 1 لذلك نقسم المسافة بين 0 ، 1 إلى ثلاثة أقسام
( لاحظ المقام )



مثال ( 2 ) : مثل العدد النسبي على خط الأعداد
الحل : العدد ينحصر بين 0 ، - 1 لذلك نقسم المسافة بين 0 ، - 1 إلى خمسة أقسام




مثال (1) : مثل العدد النسبي على خط الأعداد

الحل: = 3  ينحصر بين 3 ، 4 لذلك نقسم هذه المسافة إلى قسمين




تدريب : مثل الأعداد النسبية الآتية على خط الأعداد

، ، ، ،

، ، ،
نشاط رقم ( 11 )

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تجمع عددين نسبيين .


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
1- تجمع عددين صحيحين .
2- تضرب عددين صحيحين.

تعميم : إذا كان كل من أ ، ب ، ج عدداً صحيحاً بحيث ب لا يساوي الصفر فإن :

+ =


مثال : جد ناتج + =

تدريب ( 1 ) جد ناتج

1) + =

2) + =

3) + =

4) + =

5) + =

6) + =

7) + =

+ =
تابع نشاط رقم ( 11 )

تعميم : إذا كان كل من أ ، ب ، ج ، د عدداً صحيحاً بحيث ب ، د لا يساوي الصفر فإن :

+ =

مثال : جد ناتج + =

الحل : + = =
ملاحظة :عزيزي الطالب يستحسن قبل إجراء عملية الجمع وضع كل من الأعداد النسبية في أبسط صورة


تدريب ( 2 ) جد ناتج :

1) + =

2) + =

3) + =

4) + =

5) + =

6) - + =

7) + =

+ =



نشاط رقم (12)

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تستنتج خواص عملية الجمع في ن .


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
تحدد خواص عملية جمع الأعداد الصحيحة .

*مثال : جد ناتج
+

الحل : + = = =

و حيث أن  ن ،  ن و الناتج  ن تسمى هذه الخاصية خاصية الانغلاق في ن .

* لاحظ أن + = = =

+ = = = ماذا تلاحظ ؟

+ = +

تعميم(1) أي أن : + = + خاصية التبديل لعملية الجمع في ن


* لاحظ أن : ( + ) + = + =

+ = + = = =

وكذلك + ( + ) = + ( ) = + ( ) = +

= = =

 ( + ) + = + ( + ) =
تابع نشاط رقم ( 12 )

تعميم(2) + + = + + ( وهذه خاصية التجميع لعملية الجمع)


* لاحظ أن : + صفر = صفر + = + =

= =

تعميم ( 3 ) + صفر = خاصية العنصر المحايد في عملية الجمع في ن

* + = = = صفر

تعميم (4) : + = صفر خاصية المعكوس الجمعي لعملية الجمع في ن .

ملاحظة : عزيزي الطالب يسمى معكوساً جمعياً لـ وكذلك يسمى معكوساً جمعياً لـ

تدريب (1)اختر الخاصية الصحيحة مما بين الأقواس:

1) + صفر = ( المحايد– التجميعية– الانغلاق– النظير الجمعي)

2) + = + ( المحايد– التجميعية– الانغلاق– الإبدال )

3) ( + ) + = + ( + ) ( المحايد– التجميعية– الانغلاق– النظير الجمعي)

4) + = صفر ( المحايد– التجميعية– الانغلاق– النظير الجمعي)
تدريب (2) أكمل الفراغات الآتية لتصبح العبارة صحيحة
1- العنصر المحايد في عملية جمع الأعداد النسبية هو ........................
2- المعكوس الجمعي للعدد هو ..............................

3- المعكوس الجمعي للعدد - هو ..............................
4- المعكوس الجمعي للعدد 3 هو ..............................
نشاط رقم ( 13 )

عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على إيجاد ناتج طرح عدد نسبي من عدد نسبي آخر
عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية
1- تجمع عدداً صحيحاً مع عدد صحيح آخر
2- تضرب عدداً صحيحاً في عدد صحيح آخر .

مثال 1 : جد ناتج -

الحل : - = + المعكوس الجمعي للعدد وهو ( )

= + ( ) = = =

مثال 2 : 1 - 2 = - = = =

تدريبات : جد ناتج ما يلي : -
1) - 9) 2- =

2) - 10) 3 - 1 =

3) -

4) -

5) -

6) -

7) -

-





نشاط رقم ( 14 )

عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على ضرب عدد نسبي في عدد نسبي آخر


عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية : تضرب عدداً صحيحاً في عدد صحيح آخر .


مثال 1 : جد : × * الحل: × = =

مثال 2 : 2 × 1 * الحل: × = =

* لا تنس عزيزي الدارس أن :
1- حاصل ضرب عددين نسبيين لهما الإشارة نفسها ( موجبان أو سالبان ) هو عدد نسبي موجب .
2- حاصل ضرب عددين نسبيين مختلفي الإشارة ( أحدهما موجب والآخر سالب ) هو عدد نسبي سالب .

تدريبات جد :

1) ×

2) ×

3) ×

4) ×

5) ×

6) 1 ×

7) 2 × 1

- 3 × 6



نشاط رقم ( 15 )


عزيزي الدارس : سوف نتعرف في هذا النشاط على استنتاج خواص عملية الضرب في الأعداد النسبية


عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية : تحدد خواص عملية ضرب الأعداد الصحيحة .



مثال : أ) × = =

نلاحظ أن عدد نسبي ، عدد نسبي ، عدد نسبي

تعميم:حاصل ضرب أي عددين نسبيين هو عدد نسبي(خاصية الانغلاق على عملية الضرب)


ب) × = × ( خاصية التبديل على عملية الضرب )


ج) ( × ) × = × ( × ) ( خاصية التجميع على عملية الضرب )


د) × 1 = = 1 × ( خاصية العنصر المحايد الضربي )


هـ) × صفر = صفر = صفر × ( خاصية الضرب بالصفر في عملية الضرب )


و) × ( + ) =( × ) + ( × )

(خاصية توزيع الضرب على الجمع في عملية الضرب)

تابع نشاط رقم ( 15 )

* تدريبات : اختر اسم الخاصية المناسبة من بين القوسين :-


1) × = × ( التجميع – الإبدال – التوزيع – المحايد )

2) × ( + ) = × + × ( الانغلاق – الإبدال – التجميع – التوزيع )

3) × 1 = ( الانغلاق – المحايد الجمعي – المحايد الضربي– الإبدال )

4) ( × ) × = ×( × )( التوزيع – الإبدال – التجميع – المحايد )

5) × صفر = صفر ( المحايد الضربي– المحايد الجمعي– الانغلاق– الضرب في صفر )

6) × ( + ) = × + × (المحايد– الإبدال – التجميع– التوزيع )


7) 1 × = ( الإبدال – المحايد – التجميع – الانغلاق )


× = × ( الإبدال – المحايد – التجميع – الانغلاق )





نشاط رقم ( 16 )


عزيزي الدارس:سوف نتعرف في هذا النشاط على قسمة عدد نسبي على عدد نسبي آخر



عزيزي الدارس: قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم والمهارات التالية : 1- تضرب عدد نسبي في عدد نسبي آخر .
2- تجد العامل المشترك الأعلى بين عددين صحيحين .


مثال(1):جد ناتج : ÷ * الحل: ÷ = × = 15

مثال (2) جد ناتج : ÷ = × =

* تذكر أن : عند قسمة عدد نسبي على آخر نحول إشارة القسمة إلى إشارة ضرب ونقلب ما بعد الإشارة ( المقسوم عليه ) .


تدريبات جد ناتج : -
1) ÷

2) ÷

3) ÷

4) ÷

5) ÷

6) ÷

7) ÷

÷
نشاط رقم (17)

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تجد الجذر التربيعي لعدد نسبي موجب .

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية
1- تجد ناتج ضرب عدد نسبي في نفسه .
2- تحلل عدد إلى عوامله الأولية.

*مثال (1) : أوجد


الحل : = =
تدريب (1 ) جد :

1) 5)

2) 6)

3) 7) 9 0,

4) 25,



مثال (2) جد

الحل : نحلل كلاً من 225 ، 144 إلى عواملها الأولية

= =


تابع نشاط رقم ( 17 )

تدريب (2) جد

1) 6)


2) 256
7)


3)


4) 56, 2


9)
5)












نشاط رقم (18)

عزيزي الدارس:من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تجد الجذر التكعيبي لعدد نسبي

عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية
1- تجد ناتج مكعب عدد نسبي .
2-تحلل عدد طبيعي إلى عوامله الأولية.


*مثال : أوجد ناتج: 1) 2) - 008,

الحل :
1) = =


2) - 008, = - = - = -
ملاحظة : الجذر التكعيبي لعدد نسبي سالب يكون عدداً نسبياً سالباً.
تدريبات : جد ناتج :

1) 2) - 064,


3) 4)


5) 6)



7) 8 )
نشاط رقم (19)

عزيزي الدارس: من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تقدِّر الجذر التربيعي لعدد نسبي موجب .


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية :
1- تذكر مربعات الأعداد الطبيعية .


*مثال : قدِّر قيمة
الحل : تلاحظ عزيزي الدارس أن 73 لا يمثل مربعاً كاملاً ( لأنه لا يوجد عدد نسبي إذا ضرب
في نفسه يعطي 73 ) و عليه نحدد عددين نسبيين كل منهما يمثل مربعاً كاملاً بحيث يكون أحدهما أول مربع كامل يسبق العدد المراد تقدير جذره و الآخر أول مربع كامل يلي العدد المراد تقدير جذره التربيعي و في هذا المثال العددان هما 64 ، 81
و نلاحظ أن 64 < 73 < 81
 64 < 73 < 81
 8 < 73 < 9
 73 ينحصر بين 8 ، 9 أي أن كل من الأعداد : 1,8 ، 2,8 ، 21,8 ، 3,8
4, 8 ، 6, 8 يمثل قيمة تقديرية للعدد 73

تدريبات:
1- قدِّر 6- قدِّر

2- قدِّر 7- قدِّر

3- قدِّر 8- قدِّر

4- قدِّر 9- قدِّر 18,

5- قدِّر 10- قدِّر 43,

نشاط رقم (20)

عزيزي الدارس:من المتوقع منك بعد دراستك لهذا النشاط أن تقدر الجذر التكعيبي لعدد نسبي


عزيزي الدارس : قبل أن تبدأ هذا النشاط تأكد أنك تمتلك المعرفة بالمفاهيم و المهارات التالية
تذكر مكعبات الأعداد الطبيعية .


*مثال : قدِّر قيمة
عزيزي الدارس العدد 056, , لا يمثل مكعباً كاملاً ، لذلك لا نستطيع إيجاد قيمة جذره التكعيبي بدقة
فنلجأ إلى تقدير قيمة جذره التكعيبي و ذلك بحصره بين عددين مكعبين كاملين :

تذكر أن : 27 < 56 < 64  027, < 056, < 064,

 027, < 056, < 064,


 < <


 < <

 3, < 056, < 4,

 056, ينحصر بين 3, ، 4,

أي أن كلاً من 32, ، 34, ، 35, ، 37, ، 38, يمثل قيمة تقديرية للعدد 056,



تابع نشاط رقم (20)
تدريبات :

1- جد قيمة تقديرية لـ 20

2- جد قيمة تقديرية لـ 35

3- جد قيمة تقديرية لـ 80

4- جد قيمة تقديرية لـ 019,

5- جد قيمة تقديرية لـ 045 ,

6- جد قيمة تقديرية لـ 075 ,

7- جد قيمة تقديرية لـ

8- جد قيمة تقديرية لـ

9- جد قيمة تقديرية لـ 5

10- جد قيمة تقديرية لـ 1











اختبار بعدي

تعليمات الاختبار :

1-يقع الاختبار في صفحتين.
2-الدرجة النهائية 35 درجة .
3-الوقت المخصص ساعة واحدة .
4- الإجابة على الصفحة نفسها.
5-بعد الانتهاء من الاختبار قيم نفسك من دليل الإجابات الموجود في نهاية المجمع.
6- لا تنظر إلى دليل الإجابات قبل الانتهاء من أداء الاختبار.
7-في حالة حصولك على 28 درجة فأكثر فهذا دليل على امتلاكك لمهارات هذا المجمع .
و في حالة حصولك على أقل من 28 درجة يجب عليك العودة لدراسة هذا المجمع مرة أخرى.

















اختبار بعدي في مجموعة الأعداد النسبية
=================================================================
السؤال الأول: ( 6 درجات ) درجة لكل بند
ضع علامة (  ) أمام العبارة الصحيحة و علامة (  ) أمام العبارة الخطأ:
1-( ) العدد 9 عدد نسبي .
2-( ) العدد عدد نسبي سالب .

3-( ) العدد عدد نسبي في أبسط صورة .

4-( ) >
5-( ) العدد النسبي يكافئ العدد النسبي

6-( ) العدد 1 عدد محايد جمعي في مجموعة الأعداد النسبية .

السؤال الثاني: ( 5 درجات ) درجة لكل بند
اختر الإجابة الصحيحة من بين القوسين :
1)العدد النسبي يكافئ العدد النسبي ............ [ ، ، ، ]

2)( + ) + = + ( + ) هي خاصية .........
[المحايد ، الإبدال ، التجميع ، التوزيع ]
3)العدد النسبي الذي يقع بين العددين ، هو ... [ ، ، ، ]

4) × ( + ) = × + × هي خاصية ...........
[ الانغلاق ، الإبدال ، التجميع ، التوزيع ]
5)العدد غير النسبي هو ............... [ - 13 ، ، ، ]

السؤال الثالث: (8 درجات ) درجتان لكل بند
أ) أكتب العدد النسبي في أبسط صورة .


ب) مثل العدد النسبي على خط الأعداد .
ج) أكتب عددين نسبيين كل منهما يساوي

د) رتب الأعداد النسبية الآتية تصاعدياً : ، ، ،


السؤال الرابع 8 درجات) درجتان لكل بند
جد ناتج ما يلي :
1) + =


2) - =


3) × =


4) ÷ =


السؤال الخامس: ( 8 درجات ) درجتان لكل بند

أولاً) جد ما يلي : أ)


ب)

ثانياً) قدر ما يلي :

3- 40

4- 043,
نموذج إجابة الاختبار القبلي في مجموعة الأعداد النسبية


* السؤال الأول :-

1)  ، 2) × ، 3) × ، 4) 

5)  ، 6) ×
* السؤال الثاني :-

1) ، 2) التجميع ، 3)

4) التوزيع ، 5)

* السؤال الثالث :-

أ) ، ب) = 1  تقع بين
العددين 1 ، 2 لذلك نقسم المسافة بينهما إلى أربعة أقسام كالآتي:



ج) ، ، ، .......

د) - ، ، ،
* السؤال الرابع :-

أ) = =

ب) - = = =

ج) × =

د) × = 2

* السؤال الخامس :-


1- أ) =

ب) -


2- أ) 1,5 ، 2, 5 ، 3, 5 ،...... كلها قيم تقديرية لـ 29

ب) 021, ، 022, ، 023, ، 026, ،... قيم تقديرية لـ 025,






نموذج إجابة الاختبار البعدي في مجموعة الأعداد النسبية


* السؤال الأول :-

1)  ، 2) × ، 3) × ، 4) 

5)  ، 6) ×
* السؤال الثاني :-

1) ، 2) التجميع ، 3)

4) التوزيع 5)

* السؤال الثالث :-

أ) ، ب) = 1
 تقع بين العددين 1، 2 نقسم المسافة بينهما إلى ثلاثة أقسام كالآتي:




ج) = = = = = ....

د) - ، ، ،
* السؤال الرابع :-

أ) + = = =

ب) - = = =

ج) × = 1

د) ÷ = × =

* السؤال الخامس :-

1- أ)

ب)


2- أ) 2, 6 ، 3, 6 ، 4 ,6 ، كلها قيم تقديرية لـ 40

ب) 34, ، 35 , ، 36 , ، كلها قيم تقديرية لـ 043,



حلول التدريبات
تدريب صفحة (6)
كل الأعداد المذكورة أعداد نسبية ما عدا ليس عدد نسبي لأن المقام = صفر ، ليس عدد نسبي لأن ط ليس عدد صحيح .
تدريب صفحة (
الأعداد الموجبة هي : ، ،

، ،

الأعداد السالبة هي: ، ، -4 ،

بينما لا موجب و لا سالب.
تدريب(1) ص7 :
الأعداد النسبية : ، ، فقط هي في أبسط صورة .
تدريب (2) ص7 :

= ، =


= ، =


= ، =

= ، =

= ، =
تدريب صفحة (9)

1) = = = = = =…. و هناك حلول أخرى

2) = = = = =

و هناك حلول أخرى.

3) = = = = =

=.......... و هناك حلول أخرى .

4) = = = =

= = = =
وهناك حلول أخرى.
تدريب صفحة (10)
أزواج الأعداد النسبية المتكافئة هي
( ، ) ،( ، ) ، ( ، )
تدريب ص (11)
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
< < > = > < > = < < < >


تابع حلول التدريبات

* تدريب ص12 :

1) < ، 2) < ، 3) >

4) > ، 5) >
* تدريب ص13 :

1) < ، 2) > ، 3) <

4) > ، 5) < ، 6) >

* تدريب ص14 :

1) > ، 2) < ، 3) > ، 4) >

5) < ، 6) < ، 7) > ، >

9) < ، 10) <
* تدريب ص15 :

أ- 1) ، ،

2) ، ،

3) ، ،

4) - ، - ،

5) -1 ، - 8, ، - ، -

ب- 1) 2 ، 2 ، ، -

2) 3 ، ، - 1 ، -2

3) ، ، ،

4) - ، ،

5) ، ،









تابع حلول التدريبات
تدريب صفحة 16
تمثيل

تمثيل





تمثيل


تمثيل

تمثيل


تمثيل

تمثيل


تمثيل

تمثيل








تابع حلول التدريبات
تدريب(1) ص(17)
1) = 1 (2) (3) (4) =1

(5) (6) (7) ( =-2 تدريب(2) ص(18)
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (

تدريب(1) ص(20)
(1) النظير الجمعي(2) الإبدالية(3) التجميعية(4)المحايد
تدريب(2) ص(20)
(1)الصفر(2) (3) (4) 3
تدريب ص(25)
(1) (2) (3) (4)

(5) 1 (6) (7) (

تدريب ص(21)
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (

(9) (10) = تدريب ص(26)
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) 3, ( 5,




تدريب ص(22)
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (
تدريب ص(27)
(1) (2) 16 (3) (4) 6, 1 (5)

(6) (7) ( (9)
تدريب ص(24)
(1)الإبدال (2) التوزيع (3) المحايد الضربي
(4) التجميع (5) الضرب في صفر(6)التوزيع
(7)المحايد ( الإبدال تدريب ص(28)
(1) (2) – 4, (3) (4)

(5) (6) (7) (

تابع حلول التدريبات
تدريب ص(29)
1- 4, 5 ، 5, 5 ، 6,5،..........
2- 3, 7 ،1, 7 ، 2, 7 ،............
3- 1, 9 ،2, 9 ،3, 9 ،..........
4- 4, 1 ،5, 1 ،6, 1 ،...........
5- 9, 1 ،91, 1 ،92, 1 ،..........
6- 2, 1 ،3, 1 ،4, 1 ،...........
7- 1, 3 ،2, 3 ،12, 3 ،...........
8- 5, 1 ،6, 1 ،55, 1 ،.............
9- 4, ،41, ،42, ،43, ،........
10- 6, ،2 6, ، 5 6, ،7 6, ، .......... تدريب ص(31)
1- 6, 2 ، 7, 2 ، 71,2 ،......
2- 1, 3 ، 2, 3 ، 3,3 ،............
3- 3, 4 ، 31, 4 ، 32,4 ،.......
4- 26, ، 27, ، 28, ،...............
5- 35, ، 36, ، 4, ،.............
6- 4, ، 41, ، 42, ،...............
7- 5, 1 ، 6, 1 ، 7,1، 2، ..........
8- 4, 1 ، 5, 1 ، 6,1،...........
9- 6, 1 ، 7, 1 ، 8,1، 2 ،.....
10- 2, 1 ، 3, 1 ، 4, 1 ،........