ريااااااااااااضيات 1

بسم الله الرحمن الرحيم
المجمعات التعليمية
الرياضيات
الصف الثامن الأساسي
الجزء الأول
إعداد
1) محمد الصوالحي 2) أكرم صرصور 3) شحدة أبو عمرة 4) كمال أبو صقر
5) طلال قويدر 6) هشام الأشقر 7) حاتم الزهارنة أحمد الحافي

إشراف:
موجه المادة / ماهر حسن أبو الهطل
2004/2005


بسم الله الرحمن الرحيم

المجمعـــات التعليميـــة
للصف الثامن الأســـاسي

المجمع التعليمي الأول
الأعــــداد الحقيقيــة


إعداد
1) محمد الصوالحي 2) أكرم صرصور 3) شحدة أبو عمرة 4) كمال أبو صقر
5) طلال قويدر 6) هشام الأشقر 7) حاتم الزهارنة أحمد الحافي

إشراف:
موجه المادة / ماهر حسن أبو الهطل
2004/2005

بسم الله الرحمن الرحيم

مقــدمة
عزيزي الطالب :

يهدف هذا المجمع التعليمي / التعلمي إلى تعلمك موضوع الأعداد الحقيقية، وذلك في الوحدة الأولى من منهاج الرياضيات (الجزء الأول) والمقرر للصف الثامن الأساسي وفق المنهاج الفلسطيني للعام الدراسي (2004/2005) بالاعتماد على نفسك من خلال قيامك بجميع النشاطات التعليمية / التعلمية الواردة في هذا المجمع و تنفيذ الأنشطة المقترحة فيه لأن التعلم بهذا المجمع التعليمي/ التعلمي هو تعليم فردي و بالقيام بالأنشطة الواردة فيه لتحقيق الأهداف المرجوة منه.
و يمكنك عزيزي الطالب الاستعانة بمعلمك إذا ظهرت لديك بعض التساؤلات أو واجهت بعض الصعوبات
والمجمع التعليمي/التعلمي الذي بين يديك طور من أجل مساعدتك على اكتساب المعلومات و المهارات اللازمة للإجابة عن بعض التساؤلات المتعلقة بموضوع الأعداد الحقيقية التي من المهم أن تعرفها كذلك إكسابك أسلوب التعلم الذاتي لنمط تعلمي في حياتك فكن واثقاً من نفسك، ونتمنى لك التوفيق والنجاح إن شاء الله.





نتوقع منك عزيزي الطالب بعد دراستك لوحدة الجبر أن تكون قادراً على تحقيق الأهداف التالية:
1. تكتب العدد النسبى على صورة كسر عشري .
2. تقارن بين العدد النسبي المنتهي و العدد الدوري.
3. تكتب الكسر العشري على صورة عدد نسبي .
4. تحل تمارين منتمية على الأعداد النسبية .
5. تجد الجذر التربيعي لعدد نسبي بطريقة التحليل.
6. تتعرف على مجموعة الأعداد غير النسبية.
7. تمثل العدد الحقيقي تقريبا على خط الأعداد.
8. تمثل هندسيا العدد الحقيقي على خط الأعداد.
9. تستنتج خواص عملية الجمع في ح.
10. تتعرف على خواص عملية الطرح في ح.
11. تذكر خواص عملية الضرب في ح.
12. تعدد خواص عملية القسمة في ح.
13. تحل تمارين على العمليات في ح.
14. تجد حاصل ضرب جذرين تربيعيين أو أكثر.
15. تحل تدريبات على ضرب الجذور التربيعية .
16. تجد ناتج قسمة جذرين تربيعيين .
17. تحل تدريبات على قسمة الجذور التربيعية .
18. تبسط الجذور التربيعية .
19. تجد ناتج العمليات الحسابية على الجذور التربيعية المتشابهة .
20. تميز الجذور الصماء عن الجذور الناطقة .
21. تنطق مقام الجذر الحقيقي إذا كان المقام جذر أصم.
22. تحل المعادلات ذات متغير واحد في ح.
23. تجد الجذر التكعيبي للعدد الحقيقي .
24. تحل تمارين منتمية على الجذور التكعيبية.
25. تستخدم الجذور التكعيبية في حل معادلات منتمية.
26. تعرف الفترة المغلقة.
27. تمثل الفترة المغلقة على خط الأعداد .
28. تعرف الفترة المفتوحة .
29. تمثل الفترة المفتوحة على خط الأعداد.
30. تعرف الفترة نصف المغلقة أو نصف المفتوحة.
31. تمثل الفترة نصف المغلقة أو نصف المفتوحة على خط الأعداد .
32. تجري عملية الاتحاد على الفترات.
33. تجري عملية التقاطع على الفترات .






• الفئة المستهدفة: طلبة الصف الثامن الأساسي بوكالة الغوث بمحافظات غزة
• مكونات المجمع التعليمي/ التعلمي
يحتوي هذا المجمع على:
1. النظرة الشاملة: وتشمل مقدمة – الأهداف – الفئة المستهدفة
2. إرشادات تنفيذ المجمع
3. اختبار المتطلبات الأساسية
4. الاختبار القبلي
5. أجزاء الوحدة الدراسية: و تشمل
- كتابة الأعداد النسبية على صورة كسور عشرية
- كتابة الكسور العشرية على صورة أعداد نسبية
- الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل
- مجموعة الأعداد غير النسبية
- تمثيل الأعداد الحقيقية على خط الأعداد
- العمليات على الأعداد الحقيقية (الجمع – الطرح –الضرب)
- العمليات على الجذور الصماء و تشمل:
• ضرب الجذور التربيعية
• قسمة الجذور التربيعية
• تبسيط الجذور التربيعية
• العمليات على الجذور التربيعية المتشابهة للأعداد
• إنطاق مقام الكسر


اختبار المتطلبات الأساسية لوحدة الأعداد الحقيقية العـلامة:
لطلاب الصف الثامن الأساسي
الاسم : ــــــــــــــــــ زمن الاختبار: 30دقيقة

السؤال الأول : (5 علامات)
ضع أحد الرموز التالية:  ، ،  ،  في المكان المناسب .
1) -6 ـــــ ط
2) ـــــ ن
3) ط ـــــ ن
4) ن ـــــ ص
5) 1.7 ـــــ ص
السؤال الثاني: (10علامات)
أكمـــل:
1) = 0.00000
2) = 0.000000
3) 0.6 × 10 = 000000000
4) 5.4 × 100 = 00000000
5) 2.052 × 1000 = 00000000
6) النظير الجمعي للعدد -7 هو 00000000
7) النظير الضربي للعدد هو ............
= ..............
9) = .............
10) مربع طول ضلعه 5سم فإن مساحته = . ...........سم2
السؤال الثالث: (5علامات)
1- أوجد مجموعة حل المعادلات التالية في مجموعة الأعداد الصحيحة :
أ‌) 9س = 45
ب‌) 2س + 3 = - 5
2. حلل العدد 24 إلى عوامله الأولية:
الحل: 24

24=
3) مربع مساحته 81 سم2 جد طول ضلعه .
4) عبر عن التالي بصورة قوى (أُسية)
3 × 3 × 3 = ــــــ
5) أوجد قيمة 35 = ـــــ
6) مثل الأعداد النسبية التالية على خط الأعداد :
2 ، 3.5 ، -4، 1 ، 5 .


إرشادات تنفيذ المجمع التعليمي
عزيزي الطالب
ويرجى منك إتباع ما يلي:
3. أجب أسئلة اختبار المتطلبات الأساسية بدقة ثم صححه مستعيناً بدليل الإجابات النموذجية .
4. إذا كانت علامتك 80% فما فوق فقد تحقق الهدف و يمكنك دراسة المجمع التعليمي أما إذا كانت علامتك أقل من ذلك، عليك الرجوع إلى دراسة الأجزاء التي أخطأت فيها ،ثم أعد حل اختبار المتطلبات الأساسية إلى أن تصل إلى مستوى الإتقان المطلوب.
5. أجب أسئلة الاختبار القبلي.
6. أدرس الأجزاء الواردة في المجمع التعليمي، وحل التمارين والمسائل الواردة فيها ، ثم صححها بمساعدة معلمك، مستعيناً بدليل الإجابات النموذجية.
7. أجب أسئلة الاختبار البعدي ،فإذا حصلت على 80% فما فوق، تكون قد حققت أهداف تعلم الوحدة التعليمية /التعلمية المطلوبة. أما إذا حصلت على أقل من ذلك فعليك بدراسة الأجزاء بما أخطأت فيه من جديد ثم أعد حل الاختبار البعدي إلى أن تصل إلى مستوى الإتقان المطلوب.






الاختبار القبلي/البعدي لوحدة الأعداد الحقيقية العلامــة:
من مقرر الرياضيات (الجزء الأول ) لطلاب الصف الثامن الأساسي
الاسم: ____________________ زمن الاختبار: ساعة
-----------------------------------------------------------------------------------------
السؤال الأول: (10علامات)
ضع ( ) أمام العبارة الصحيحة و( × ) أمام العبارة الخطأ:
1) يعتبر العدد النسبي كسراً عشرياً منته ( )
2) = 0.6 ( )
3) ن U ن = ح ( )
4) الجذر التربيعي الموجب للعدد 2.56 = 25 ( )
5) تتمتع عملية طرح الأعداد الحقيقية بخاصية الانغلاق ( )
6) يعتبر العدد عدداً غير نسبي ( )
7) عملية القسمة على "ح" ليست تبديلية ( )
النظير الضربي للعدد هو ( )
9) النظير الجمعي للعدد ( + 5 ) هو( - 5 ) ( )
10) -2  ] -2 ، 1 [ ( )
السؤال الثاني: (10 علامات)
أكمل الفراغ بما يناسبه:
1) 0.5 = _______ على صورة
2) العنصر المحايد في عملية ضرب الأعداد الحقيقية = _______.
3) × = 1
4) الفترة التي تعبر عن المجموعة التالية س = } أ : أ  ح ، 1 < أ < 5 { هي ــــــــ
5) 6 = ــــــ
6) مكعب حجمه 125سم3، طول حرفه = ـــــ سم
7) × ( - ) = ______ - _______
الفترة الموضحة بالرسم هي ــــــ
9) × = ـــــــ
10) أ × ( ب × جـ ) = ( أ × ب ) × جـ خاصية ـــــ .
السؤال الثالث: اختر الإجابة الصحيحة مما بين القوسين: (10علامات)
1) أحد الأعداد التالية غير نسبي ( 4.2 ، -7 ، ، ).
2) أحد الكسور التالية هو كسر عشري منته ( ، ، ، )
3) 0.6 = ( 0.6 ، ، ، - 6.6 )
4) العنصر المحايد في عملية جمع الأعداد الحقيقية هو ( صفر ، 1 ، -1 ،  )
5) 2 = ــــــ (6، ، ، )
6) مربع مساحته 144سم2 فإن طول ضلعه = ـــ ( 3سم ،4سم ، 6سم ،12سم )
7) 3 3 = ــــ ( 24، 11، 6،3 )
س  ] -1،2[ فإن إحدى قيم س ـــــــــــــ ( -1 ، 2 ، 1 ، -2)
9) [-3، 0[  [0، 2[= ــــ ([-3 ، 0[ ،[0 ،2[ ، ، [-3 ،2[)
10) = ـــــ ( 6 ، -3 ، - 6 ، 9 )
السؤال الرابع:
1. أكتب العدد النسبي على صورة كسر عشري دوري
2. أكتب الكسر العشري 12و. على صورة عدد نسبي
3. مثل العدد هندسياً على خط الأعداد .
4. أنطق مقام الكسر:
أ)
ب)
5) إذا كان ف1= ] -1 ، 3[ ،ف2 = ] 2 ، 5[ أوجد باستخدام خط الأعداد ف1  ف2
السؤال الخامس: (4 علامات )
جد قيمة ما يلي:-
1) × =
2) ( )4 =
3) ( +2)3 ( - 2)3 =
4) + _ 2 =

السؤال السادس: (6علامات)
حل كلاً من المعادلات التالية في ح
1) 3س - 2 = 7
2) 5س2 = 30

نشاط رقم (1)
جمع الأعداد الصحيحة
اقرأ عزيزي الطالب الأمثلة التالية:
مثـال (1) جد ناتج جمع 5 + (-3)
الحل: يمكنك عزيزي الطالب أن تستخدم خط الأعداد الصحيحة لإيجاد ناتج الجمع
1. نرسم خط الأعداد الصحيحة

2. نبدأ بتعيين النقطة التي تمثل العدد الأول وهو +5 (تقع على بعد ه وحدات يمين الصفر)
3. ثم ننتقل 3 وحدات باتجاه اليسار لأن العدد الثاني عدد سالب (-3)
4. العدد الذي تعينه النقطة التي ننتهي عندها يكون دالاً على مجموع هذين العددين.
5 + (-3) = 2 ( لاحظ عزيزي الطالب اتجاه السهم على الرسم )
لاحظ أن العددين أحدهما موجب والآخر سالب
مثــال(2) جد ناتج الجمع -4 + 2
الحل: نبدأ من النقطة التي تمثل العدد -4 ثم نتجه إلى اليمين وحدتين لأن العدد الثاني موجب
نلاحظ أننا ننتهي عند النقطة (-2) والتي تمثل ناتج الجمع -4+2 = -2






مثــال(3): جد ناتج الجمع 3 + (-7)
الحل: نبدأ من النقطة التي تمثل العدد (موجب3) ثم نتجه 7وحدات جهة اليسار لأن العدد الثاني سالب.
ننتهي عند النقطة التي تمثل العدد -4 والتي تمثل حاصل الجمع كما هو مبين بالرسم.

1) والآن عزيزي الطالب يمكنك إيجاد ناتج جمع الأعداد التالية مستخدماً خط الأعداد الصحيحة
أ) 2 + (-3) =
ب)+ 7 + (-5) =
ج) - 4 + 9 =
د) -8 + 7 =
هـ) -5 + 5 =
طريقة أخرى لإيجاد جمع عددين صحيحين أحدهما موجب والآخر سالب:
ملاحظة :يمكن اعتبار العدد الموجب يمثل مكسباً والعدد السالب يمثل خسارة فإن مجموع العددين الصحيحين هو العدد الصحيح الذي يمثل الناتج من حيث هو مكسب أو خسارة
مثـال (4): جد الناتج 7 + (-5)
الحل: العددين الصحيح 7 يمثل مكسباً قدره 7، العدد 5يمثل خسارة لأنه سالب
7+ (-5) = مكسب 7 وخسارة 5
= مكسب 2 7 +(-5) = 2
مثــال (5) : جد الناتج - 9+ 3 =
الحل : -9 + 3 = خسارة 9 ومكسب 3 = خسارة 6 = -6
مثال(6): جد الناتج 9 + (-9) = مكسب9 وخسارة9
9 + (-9) = صفر
ملاحظة يسمى العددان 9، -9 كل منهما معكوساً جميعاً للآخر لأن مجموعهما = صفر
مثــال(7) :
(-6) + 15 = خسارة 6 ومكسب 15 ، = 9 مكسب = +9
2) والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية: جد ناتج جمع الأعداد التالية:
أ) (-3) + 2 = ب) (- + 10 = ج) 11 + (-7) =
د) 19+ 19 = هـ) 0 + (-5) = و) (-9) + 0 =
ز) 23 + (-25) = ع) (-14) + 9 = ك) 12 + ( 5 ) =
ط) (-17) + 27 = ن) 34 + (-40) =
يمكنك عزيزي الطالب أن تجري عملية الجمع ذهنياً
اقرأ عزيزي الطالب الأمثلة الآتية على جمع عددين صحيحين سالبين 0
مثــال( : استخدم خط الأعداد لإيجاد الناتج
(-3 )+ (-5) =

الحل: نبدأ من النقطة التي تمثل العدد -3 ثم نتجه 5وحدات جهة اليسار لأن العدد
• 5 عدد سالب ،فنصل إلى النقطة التي تمثل العدد(- والتي تمثل مجموع العددين
• - 3+ (-5) = -8


مثــال (9): جد ناتج الجمع
الحل : -2 + (-7)
نبدأ من النقطة التي تمثل العدد (-2) ثم نتجه 7وحدات لليسار لأن العدد الثاني -7 نصل للنقطة التي تمثل العدد (-9) وهو ناتج جمع العددين .
مثــال (10): (-2) + (-9) =
الحـل: نبدأ من النقطة التي تمثل العدد -2 ثم نتجه 9 وحدات لليسار لأنه عدد سالب نصل إلى النقطة التي تمثل العدد (-11) وهو ناتج جمع العددين.

-2 + (-9) = -11
3) والآن عزيزي الطالب جد ناتج الجمع مستعيناً بخط الأعداد الصحيحة :
أ) (-5) + (-2) = ب) (-3) + (-7) =
ج) (-1) + (-9) = د) (-6) + (-2) =
ملاحظة : تلاحظ عزيزي الطالب أن ناتج جمع عددين صحيحين سالبين هو عدد صحيح سالب:
مثــال (11): جد الناتج (الجمع):
-3 + (-5)
الحل: -3 +(-5) = خسارة 3 و خسارة 5 = خسارة 8 = -8
مثــال (12): (-11 ) + (-15) = خسارة11 + خسارة 15
= خسارة 26
=-11 + (-15) = -26
والآن جد ناتج العمليات الحسابية التالية:
أ) (-7) + (- = ب) (-11) +(-12) = ج) (-19) + (-19) =
د) (-18) + (-20) = هـ) (-11) + (-17) = و) (-9) + صفر =
ز) (-7) + (-4) = ك) (-14) + (-6) =
اقرأ عزيزي الطالب الأمثلة التالية:
مثــال (13):
أ) -6+4= -2 ، 4+(-6)=-2
-6 + 4 = 4+(-6) = -2 تسمى هذه الخاصية بالخاصية التبديلية.
‌ب) -5+ (-4)=-9 وهي تنتمي للأعداد الصحيحة.
لاحظ أن مجموع أي عددين صحيحين هو عدد صحيح تسمى هذه الخاصية الانغلاق
‌ج) مثال: 3 + 2 + (-9) = (3+2) + (-9) = 5 + (-9) = 5 + (-9) = -4
3 + 2 + (-9) = 3+ (2+ (-9)) = 3+(-7) = -4
نلاحظ أن 3 + 2 + (-9) = (3+2)+(-9) = 3+ (2+-9) = -4
تسمى هذه الخاصية الدمج (التجميع)
د) 7+ (-7) = -7+7 = صفر
7+(-7) = 7+7 = صفر
تسمى هذه الخاصية بالمعكوس الجمعي (للتعبير عن المعكوس الجمعي لأي عدد صحيح نضع العلامة(-) على يمينه .
لاحظ أن 7، -7 كل منهما معكوساً جميعاً للآخر / المعكوس الجمعي للعدد -5 = -(-5)=+5
مثال : العدد 8 معكوسة الجمعي -8
هـ) 0+18 = 18 ، 18+0= 18
أي عدد صحيح + صفر = نفس العدد
العدد صفر عدد محايد جمعي
4) والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية : أكمل ما يلي:
1- أ) 3 ص ، 5  ص 3 + 5 = 8  ص تسمى هذه الخاصية ـــــــ.
‌ب) 6 + 7 = 7 + ــــــ تسمى الخاصية ــــــ
‌ج) 0+(-10) = -10 + ــــ تسمى خاصية ــــــ
‌د) 7 + 5 + ــ = 7 + ( 5 + ــ ) = (ــ + ــ ) -9 تسمى هذه الخاصية ــــ
‌ه) 9 + -9 = -9 + ــــ = ـــــ تسمى خاصية ــــــ
2. جد المعكوس الجمعي لكل من الأعداد التالية:
أ) +8 ب) -11 ج) -20 د) 27 ه)-19 و) 24
اقرأ عزيزي الطالب الأمثلة الآتية : جد الناتج
مثال أ) : -7 + 5 + 7
الحل : -7 + 5 + 7 = -7 + ( 5 + 7 ) تسمى الخاصية التجميعية
= -7 + ( 7 + 5 ) تسمى الخاصية التبديلية
= (-7 + 7 ) + 5 تسمى الخاصية التجميعية والمعكوس الجمعي
= صفـر + 5 تسمى خاصية العنصر المحايد الجمعي.
= 5
مثال ب): جد الناتج -3 + 5 + -7 + 8
الحل : -3 + 5 + (-7) + 8 = (-3 + 5 ) + ( -7 + 8 ) التجميعية
= 2 + 1 = 3
5) والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية:
جد ناتج عمليات الجمع التالية مع ذكر الخاصية المستخدمة.
أ‌) 8 + 7 + -8 =
ب‌) 0 + 9 + - 2 =
ت‌) 5 +9 +8 +-4=
ث‌) -7+ -3+ -2=
ج‌) 8+ 9+ -11+-2 =









نشاط رقم (2)
كتابة العدد النسبي على صورة كسر عشري منته
عزيزي الطالب عليك قراءة الأمثلة التالية بإمعان وفهم وذلك لتجيب الأسئلة التي بعدها
مثال (1) : اكتب العدد النسبي بصورة عشرية
الحل : نستخدم طريقة القسمة المطولة و ذلك بقسمة بسط العدد على مقامه
= 3÷ 5 = 0.6(كسر عشري) والباقي = صفر
طريقة أخرى : وذلك يجعل المقام = 10 أو 100، 1000، 00
= = = 0.6 (عدد عشري)
مثال(2 ): أكتب بصورة كسر عشري
الحل : الطريقة الأولى بقسمة البسط على المقام = -3 ÷ 4= -0.75
الطريقة الثانية يمكن أن نجعل المقام = 100 وذلك بضربه في 25
و نضرب أي بسط العدد في 25
= = = 0.75
مثال (3) : أكتب على صورة عدد عشري
الحل أولاً: يمكننا تحويل العدد النسبى الى عدد عشرى بقسمة البسط على المقام
= 7 ÷ 2 = 3.5 والباقى صفر
ثانياً: نجعل المقام = 10 وذلك بضرب البسط والمقام فى 5
× = = 3.5


مثال(4) حول العدد النسبي إلى عدد عشري
الحل : نقسم البسط على المقام (14÷ 5) = 2.8
= 2 = 2.8 (نحول ال إلى عدد صحيح وكسر عادي والكسر يحول إلى كسر عشري)
ملاحظة : تلاحظ عزيزي الطالب أنه في الأمثلة السابقة عند قسمة بسوط الأعداد النسبية على مقاماتها نلاحظ أن ناتج القسمة هو كسر عشري منته لأن باقي القسمة = صفراً
والآن عزيزي الطالب نتوقع منك حل التدريبات التالية :
1. أكتب كلاً من الأعداد النسبية التالية على صورة كسر عشري منته.
2. ، ، 3 ،



























نشاط رقم (3)
كتابة العدد النسبي على صورة كسر عشري دوري
أخي الطالب / اقرأ الأمثلة التالية بتمعن و افهمها جيداً
مثال(1) اكتب العدد النسبي على صورة كسر عشري
الحل : تعلمنا عزيزي الطالب في النشاط السابق أنه لتحويل العدد النسبي إلى كسر عشري نقسم البسط على المقام (القسمة المطولة)
دعنا الآن نجري عملية القسمة
= 5 ÷ 6 = 0.8333 = 0.83
نلاحظ عزيزي الطالب أن الرقم 3 يتكرر بصورة دورية (غير منتهية ) مع استمرار القسمة لأن باقي القسمة دائماً 2 في هذه الحالة نكتب = 0.833300= 0.83
بأن نضع خط فوق الرقم الدوري 3 ليدل على أنه يتكرر باستمرار طول عملية القسمة .
يسمى العدد 0.83 وبكسر عشري دوري
يمكننا أن نكتب العدد النسبي على صورة كسر عشري دوري .
مثال: اكتب العدد النسبي على صورة كسر عشري
الحل : باستخدام طريقة القسمة (نقسم البسط على المقام 5 ÷ 22)
= 5÷ 22 = 0.227272700 نلاحظ أن الرقمين 7،2 يتكرران بصورة دورية غير منتهية مع استمرار عملية القسمة لأنه يوجد باق دائماً ،ويكتب العدد النسبي على صورة الكسر العشري اختصاراً = 0.227 كما نلاحظ أن العدد 2 على يمين الفاصلة ليس دورياً .
والآن أخي الطالب / نأمل أن تحل التدريبات التالية :
1) أكتب كلاً من الأعداد النسبية التالية على صورة كسر عشري منته أو كسر عشري دوري.
أ) ب) - 1 ج)
نشاط رقم (4)
كتابة الكسر العشري الدوري على صورة عدد نسبي
عزيزي الطالب / اقرأ الأمثلة التالية :-
مثال (1): أكتب الكسر العشري 0.6 على صورة العدد النسبي في أبسط صورة .
الحل : اتبع عزيزي الطالب الخطوات التالية
1. نفرض أن س = 0.6 معادلة رقم (1)
لذلك س = 0.6666660 (لأن العدد الدوري 0.6= 0.66600)
نلاحظ أن الدورة 0.6تتكون من رقم واحد في منزلة الأجزاء من عشرة و هو 6.
2. نضرب طرفي المعادلة 1 في 10
س = 0.666 س = 0.6 (1)
10× س = 10× 0.6666
10س = 6.666 ( بنقل العلامة العشرية خانة واحدة جهة اليمين)
10س =6.6666666 10س = 6.6 (2)

عزيزي الطالب : تكملة الحل في الصفحة التالية.
3. بطرح المعادلة 1 من المعادلة 2 كما هو موضح
10س = 6.6
- س = 6.
9 س = 6 ( بقسمة طرفي المعادلة على 9)
س = ( بقسمة البسط والمقام على 3)
س = ، العدد الدوري 0.6 = ( عدد نسبي في أبسط صورة )
مثال (2): أكتب العدد الدوري 1.15 على صورة العدد النسبي
الحل : نتبع الخطوات التالية:
1. نفرض أن س= 1.15 ... (1)
س = 1.151515000 ( نلاحظ أن الدورة 0.15 تمثل منزلة الأجزاء من مائة .
2. نضرب طرفي المعادلة 1في 100 ( نحرك العلامة العشرية منزلتين نحو اليمين )
100س = 115.151500
100س = 115.15 ..... (2)
2. نحل المعادلتين 1، 2 وذلك بطرح معادلة 1 من 2
100 س= 115.15
- س = - 1.15
99س = 114 ( بقسمة طرفي المعادلة على 99)
س =
س = العدد العشري الدوري 1.15 = ( عدد نسبي)
والآن أخي الطالب يمكنك حل التمارين التالية :
أكتب كلا من الكسور العشرية التالية على صورة عدد نسبي في أبسط صورة
أ‌) 0.5
ب‌) 2.3
ت‌) 2.31
ث‌) 1.17
ج‌) 1.14
ح‌) 2.07
خ‌) 0.2312
إرشاد : يمكنك عزيزي الطالب في تمرين ج أن تضرب أولاً في (10) ليصبح الرقم
الدوري بعد العلامة العشرية مباشرة
س = 2.14 ......... (1)
10س = 21.4
10س = 21.4444000 يمكن الآن ضرب طرفي المعادلة 1 في 10أيضاً لأن الدورة تتكون من منزلة عشرية واحدة .
10× س = 10× 21.444
100س = 214.444
100س = 214.4 ....... (2)

3. بطرح معادلة 1 من 2 100س = 214.4
-10س = - 21.4
90س = 193 بقسمة طرفي المعادلة على 90
س = =
س =
العدد العشري (2.14 = )
بنفس الطريقة السابقة يمكنك حل تمرين ح.
نشــاط رقم ( 5)
تمارين على تحويل الكسر العشري المنتهي والدوري إلى عدد نسبي والعكس
مثال (1) اكتب الكسر العشري-3.12 على صورة عدد نسبي
الحل: تعلم عزيزي الطالب أن -3.12 = 3
نقوم بتحويل العدد الكسرى إلى كسر عادي ( عدد نسبي ) وذلك بضرب 100×3 وإضافة 12
يصبح البسط =100 × 3 + 12 = 312
العدد العشري -3.12 = 3 = (عدد نسبي ).
مثال (2) :- إذا كانت مساحة مستطيل 66 سم2 وعرضه 5سم جد طوله.
الحل:- تعلم أخي الطالب أن مساحة المستطيل = الطول × العرض
طول المستطيل =
طول المستطيل = = 66 ÷ 5
وبإجراء عملية القسمة المطولة الطول = 13.2سم (بقسمة 66 على 5)
مثال (3): مربع محيطه 2.6 جد طول ضلعه
الحل : نعلم أن محيطه المربع = 4 × طول ضلع المربع
 طول ضلع المربع = محيط المربع ÷ 4
طول ضلع المربع = 2.6 ÷ 4
و الآن عزيزي الطالب نعلم أن 2.6 عدد عشري دوري0 بذلك نحوله إلى عدد
نسبي و ذلك بإتباع الخطوات التالية:
1) نفرض أن س = 2.6 بضرب طرفي المعادلة (1) في 10
10س =26.6 ... (2) ( لأن 2.6= 2.666000)
بطرح معادلة 1 من 2
10س = 26.6
- س = 2.6
9 س = 24
س = سم
محيط المربع = سم
طول ضلع المربع = ÷ 4 = × = = سم
(نلاحظ أننا حولنا عملية القسمة إلى عملية الضرب في مقلوب المقسوم عليه أي ضربنا في )
طريقة الأنماط في حل السؤال:
2.6 = 2
محيط المربع = 2 = ( 2×9 + 6 = 24)
طول ضلع المربع = المحيط ÷ 4 = ÷
= × = =
والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التمارين التالية :
1. إذا كان محيط مربع 15سم . أوجد طول ضلعه على صورة كسر عشري .
2. حول الكسر العشري 2.2 على صورة عدد نسبي على صورة
3. حول الكسور العشرية الدورية على صورة عدد نسبي على صورة
أ) 0.3 ب) 0.17
4. جد الناتج على صورة عدد نسبي
2.9 + 1.8
5. احسب مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي 0.9 .

نشاط رقم (6)
إيجاد الجذر التربيعي لعدد نسبي موجب
تأمل الأمثلة التالية عزيزي الطالب ثم أجب الأسئلة التي تليها:
مثال (1) : أي الأعداد التالية تكون مربع لعدد نسبي 9 ، 7 ، ، 1 ، -0.36
الحــل : أ ) بالنسبة للعدد 9 نلاحظ أن 3 × 3 = 9 23 = 9 ( 9 مربع العدد 3)
نلاحظ أيضاً أن -3 × -3 = 9 (-3)2 = 9 ( 9 مربع العدد -3)
العدد 9 هو مربع للعددين 3، -3 لذلك يسمى العدد 9 مربع كامل
‌ب) العدد 7 ليس مربعاًِ لأنه لا يوجد عدد نسبي عند ضربه في نفسه يكون الناتج 7
‌ج) العدد يمكن الحصول عليه عند ضرب × أو - × -
‌د) العدد هو مربع للعددين النسبيين ، ، -
‌ه) العدد 1 هو مربع للعددين 1، -1 لأن 21 = 1 ، (-1)2 = 1
‌و) العدد -36 فهو عدد سالب فلا يوجد عدد نسبي مربعه عدد سالب


عزيزي الطالب :
في المثال السابق أ) نسمي العددين 3، -3 جذران تربيعيان للعدد 9 .
ب) لا يوجد عدد نسبي مربعه = 7) 7 ليس مربع كامل
ج) جذرا العدد هما ، -
د) جذرا العدد 1 هما 1 ، -1
ه) العدد -36 لا يوجد له جذر تربيعي لأنه عدد سالب


والآن عزيزي الطالب : تأمل الأمثلة التالية :
1) جد الجذران التربيعيان للعدد 25
الحل: نعلم أن 5 × 5 = 25 ، -5 × -5 = 25 جذرا العدد 25 هما 5 ، -5
ويرمز للجذرين التربيعين للعدد 25 بالرمز ± = ± 5
2) جد الجذر التربيعي للعدد
الحل : نعلم أن × =
جذرا العدد = =
مثال (1): جد
الحل : لإيجاد نقوم بتحليل 81 إلى عوامله الأولية
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = (3×3)2 = 29
= = = 9
= 9
مثال (2): جد
الحــل: نعلم أن (-8)2 = 64 = = 8
والآن عزيزي الطالب نتوقع منك حل التدريبات التالية :
1) جد الجذر التربيعي للأعداد التالية 100 ، ، 0 ، 169 ، 121
2) جد قيمة كل مما يلي ، ، ، ( )2
نشاط رقم (7)
إيجاد الجذر التربيعي لعدد نسبي موجب بطريقة التحليل إلى العوامل الأولية
نرجو منك عزيزي الطالب دراسة الأمثلة التالية ثم إجابة الأسئلة التي تليها .
مثال(1): جد
الحل : نقوم بتحليل العدد 144 إلى عوامله الأولية
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= (2× 2× 3) × (2× 2 × 3)
= 12 × 12
= = 12
مثال (2): جــد
الحل : نعلم أن 0.0441 = نحلل كلاً من البسط والمقام
= = =

0.441 = = = ( )2
= ( )2 = = 0.21

والآن عزيزي الطالب حل التدريبات التالية:
1) جد قيمة كل من ، ،

2) جد قيمة ما يلي بطريقة التحليل إلى العوامل الأولية بصورة قوى :
أ)
ب)
ج)
د)

3) مربع مساحته 3.24م2 .احسب طول ضلعه.
نشاط رقم (
مجموعة الأعداد غير النسبية
اقرأ النشاط التالي: جد :
الحل : لكي نجد نبحث عن عدد نسبي مربعه = 3 ( لا نجد عدد نسبي مربعه 3 لأن 3 ليس مربعاً كاملاً )
لا يوجد جذر تربيعي نسبي للعدد 3 و كذلك بالنسبة للأعداد 19، 7 أعداد نسبية
لأن 19، 7 ليست مربعات كاملة .
و بالبحث عن باستخدام الآلة الحاسبة نجد أن = 1.732050808 وهو عدد عشري غير منته وغير دوري) عدد غير نسبي .
وكذلك بالنسبة = 4.358894400 ( عدد غير منته وغير دوري) =>عدد غير نسبي .
يمكنك الآن عزيزي الطالب تعريف مجموعة الأعداد غير النسبية.



مثال: باستخدام الآلة الحاسبة جد قيمة ثم قرب الناتج إلى منزلة عشرية .
الحل نعلم أن = 2.645000 ( غير منته)
= 2.6 تقريباً ( لأقرب منزلة عشرية واحدة )
= 2.64 تقريباً ( لأقرب منزلتين عشريتين )

والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية:
قرب قيمة كل من الأعداد التالية لأقرب منزلتين عشريتين:
أ) ، ب) ، ج) ، د) ، هـ) ، و)
نشاط رقم (9) العلاقة بين المجموعات ط ، ن ، ص ، ح
الهدف/ نتوقع منك عزيزي الطالب أن تكون قادراً على تحديد العلاقة بين كل من المجموعات مجموعة الأعداد الطبيعية – مجموعة الأعداد الصحيحة – مجموعة النسبية – مجموعة الحقيقية.
1- تذكر أن : كل عدد طبيعي هو عدد صحيح أي أن ط ص
2- كل عدد صحيح عدد نسبي أي أن ص ن
3- كل عدد نسبي هو عدد حقيقي ن ح
4- كل عدد غير نسبي هو أيضا عدد حقيقي .
5- مجموعة الأعداد الحقيقية و يرمز لها بالرمز ح هي المجموعة الناتجة عن إتحاد مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد الغير نسبية.
أي أن ط ص ن ح
ويمكن تمثيل العلاقة بين المجموعات العددية المختلفة بشكل من الموضح .
مجموعة الأعداد النسبية مجموعة الأعداد غير النسبية







مثال: املأ الفراغات في الجدول التالي بوضع الرمز  ،  في المكان المخصص لذلك .
المجموعة
العدد
ط
ص ن مجموعة الأعداد غير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية ح
_
 

 

 

   
صفر    
7    

 
0.56565600  








نشاط رقم (10)
تدريبات على المجموعات العددية المختلفة (ط ، ص ، ن ، ح )
اقرأ عزيزي الطالب الأمثلة التالية ثم أجب الأسئلة التي تليها .
مثال(1) : ضع علامة ( ) أمام العبارة الصحيحة وعلامة (×) أمام العبارة الخطأ مع ذكر السبب:
أ) -  ح ( ) لأن ح تشمل الأعداد النسبية والغير نسبية الموجبة والسالبة.
ب) 3.2525000 = 3.25 (  ) لأن الرقمين 5 ، 2 يتكرران باستمرار.
ج)  ص ( ) لأن = = 8  ص
د) -  ص ( × ) لأن - = -6  ص
مثال (2) حل المعادلة التالية في ح
الحل:5 س - 4 +4=7+4 بإضافة 4 للطرفين
الحل: 5 س = 7 + 4
5 س = 11 بقسمة طرفي المعادلة على5
س =
س =
مثال(3): حل المعادلة التالية في ح
3س2 + 5 = 14
الحل: بطرح 5 من طرفي المعادلة
3س2 + 5 – 5 = 14- 5
3س2 = 9 بقسمة طرفي المعادلة على 3
3س2 = 9
س2 = 3 بايجاد الجذر التربيعي للطرفين
= + س = +
والآن أخي الطالب العزيز يمكنك حل التمارين التالية:
1. ضع إشارة (  ) أمام العبارة الصحيحة أو إشارة ( × ) أمام العبارة الغير صحيحة
أ) -  ح
ب) ط  ح
ج) 2.121121112000  ن
د) ص
هـ) 0.11  ن
و) =
ز) = 3 أو -3
ح) - = -4
ط) = 0.2
ر) - ص
2) أكمل الجدول التالي بالأعداد المناسبة:
العدد 4
0.09
الجذر التربيعي للعدد 1.4
مربع العدد
4.41
نشاط رقم (11)
تمثيل العدد الحقيقي على خط الأعداد
اقرأ الأمثلة التالية:
أ‌) مثل العدد -2 على خط الأعداد
الحل : نعلم أن العدد -2 عدد سالب لذلك فإنه يقع على يسار العدد صفر بوحدتين
العدد -2 يمثل على خط الأعداد بنقطة تبعد بوحدتين عن يسار النقطة التي تمثل العدد صفر كما هو موضح .


ب) مثل العدد - على خط الأعداد
الحل : نعلم أن العدد = 2
لتحديد النقطة التي تمثل العدد - 2 فإن العدد - 2 يقع بين العددين.
-2، -3 (لأن -2> 2> -3)
لذلك نقسم المسافة بين النقطتين الممثلتين للعددين -2، -3 إلى ثلاثة أجزاء متساوية ثم نحدد النقطة التي تمثل العدد - 2 =- ) كما هو موضح في الرسم . _
ح‌) مثل العدد 0.3 على خط الأعداد
الحل : نعلم أن العدد 0.3 عدد دوري ولكي نمثله بنقطة على خط الأعداد الحقيقية نكتبه علي صورة عدد نسبي كما تعلمنا في النشاطات السابقة وذلك بإجراء الخطوات التالية:
1- نقرض أن س= 0.3 ... (1) وحيث أن 0.3 = 0.33300 لأن 3. عدد دوري
س = 0.333 ، بضرب المعادلة في 10
10س = 3.33300 ، 10س = 3.3 ... (2)
2) بطرح معادلة 1 من معادلة 2
10 س = 3.3
- س =- 0.3
9 س = 3 ثم بقسمة طرفي المعادلة على 9
9س = س =
ولتحدد النقطة التي تمثل العدد نعلم أن يقع بين 0، 1 أي أن 0 < < 1
لذلك نقسم المسافة بين النقطتين على خط الأعداد الممثلتين للعدد 0، 1 إلى 3 أجزاء متساوية ثم نحدد النقطة التي تمثل العدد = 0.3 كما هو موضح بالرسم.

د) مثل العدد الحقيقي على خط الأعداد بالطريقة التقريبية
الحل: لتحديد النقطة التي تمثل العدد على خط الأعداد نجد قيمة بإستخدام الآلة الحاسبة فنجد
= 2.2 تقريباً (لأقرب منزلة عشرية واحدة)
يقع بين 3,2 لأن ( 2< < 3 ) . نقسم المسافة بينهما إلى عشرة أجزاء متساوية ثم نحدد النقطة التى تمثل كما هو موضح بالرسم .


والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التمرين التالى :
حدد على خط الأعداد النقاط التي تمثل -3 , 2 ، ، 0.2



نشاط رقم (12)
تمثيل العدد غير النسبي هندسياً
مثال : مثل هندسيا العدد
الحل: لتمثيل العدد هندسيا نتبع الخطوات التالية :-
1) نبحث عن عددين مربعين مجموعهما 5 أو الفرق بين مربيعهما 5 نجدهما 1، 4 (العدد المربع هو الذي له جذر تربيعي )
2) 5 = 1 + 4 نعلم أن ( ) 2 = 5 نضع جميع الأعداد على صورة عدد مرفوع للأس 2 فتصبح كالآتي:
( ) 2 = 21 + 2 2 وبتطبيق نظرية قيثاغورس حيث
(الوتر)2 = (ضلع القائمة)2+ (ضلع القائمة الآخر)2.
3) بتطبيق نظرية فيثاغورس السابقة نرسم مثلثا فيه ضلعي القائمة هما 1 , 2 فيكون طول الوتر هو كما هو موضح بالرسم.
4) نفتح الفرجار فتحة = ثم نركز سن الفرجار على الصفر ونرسم قوسا يقطع الجزء الأيمن من خط الأعداد في نقطة تكون هي النقطة التي تمثل العدد
5) لتمثيل العدد (- ) نقطع خط الأعداد من الجهة اليسرى بنفس الفتحة .





مثال: مثل هندسياً العدد 1+
الحل : من المثال السابق نفتح الفرجار فتحة = ونركز سن الفرجار في النقطة التي تمثل العدد 1 ثم نرسم قوساً على يمين الواحد فتكون نقطة تقاطع القوس مع خط الأعداد هي النقطة التي تمثل العدد 1+


مثال: مثل على خط الأعداد هندسياً العدد (-3) -
الحل: نفتح الفرجار فتحة = ونضع سن الفرجار على النقطة الممثلة للعدد (-3) ونرسم قوساً يقطع الخط من الجهة اليسرى للعدد (-3) فتكون نقطة تقاطع القوس في هذا الخط هي النقطة التي تمثل
العدد (-3 ) - (كما هو موضح بالرسم).



والآن : أخي الطالب العزيز/ مثل هندسياً الأعداد التالية 1 + ، 1 +






نشـاط رقم (13)
العمليات على الأعداد الحقيقية
عزيزي الطالب/ تأمل الأمثلة التالية ثم أجب الأسئلة التي بعدها .
1) خاصية الانغلاق:
إذا كان 5  ح، 6  ح ، فإن 5 + 6 = 11  ح ويمكن تعميم ذلك إذا كان أ  ح ، ب  ح ، فإن ( أ + ب)  ح ، يقال لعملية الجمع أنها مغلقة على ح إذا كان ناتج جمع عددين حقيقيين هو عدد حقيقي
2) خاصية الإبدال:
مثال 3 + (- 2) = 1 ، - 2+ 3 = 1 إذن 3 + 2 = 2 + 3 ويمكن تعميم ذلك أ + ب = ب + أ
3) خاصية الدمج (التجميع)
مثال: 3 + (-1) + 2 = (3 + (-1))+ 2) = 2 + 2 = 4
3 + (-1) + 2 = 3 + ( (-1)+ 2 ) = 3 + 1 = 4
3 + (-1) + 2 = (3 + (-1)) + 2 = 3 + ((-1) + 2) =3 + 1 = 4 .
ويمكن تعميم ذلك إذا كان أ ،ب ،ج أعداد حقيقية فإن أ + ب + ج = (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج )
4) خاصية العنصر المحايد الجمعي
مثال = + 0 = ، 0 + = + 0 = 0 + =
مثال: + 0 = 0 + =
ويمكن تعميم ذلك إذا كان أ  ح فان أ + 0 = 0 + أ = أ
يسمي العدد (صفر) العنصر المحايد الجمعي0
5) خاصية النظير الجمعي0
مثال: + (- ) = 0 وكذلك - + = 0
مثال: النظير الجمعي للعدد - 5 = - ( - 5) = - + 5
ويمكن تعميم ذلك : إذا كان أ  ح فإنه يوجد – أ  ح حيث أ + - أ = -أ + أ = 0


والآن عزيزي الطالب حل الأسئلة التالية :
1) 3 + = + ــــ خاصية ــــــ
2) 7 + (- 4) + = (7 + ـــ) + = ــ + (-4 + ــ ) خاصية ـــ
3) 5 + ــ = -5 + ــــ = صفر خاصية ــــــ