نشاط رقم (14)
خواص طرح الأعداد الحقيقية
خاصية (1): عملية الطرح على ح مغلقة .
مثال: 3 ح ، -2 ح فإن 3 – (-2) = 3 + 2 = 5 ح
لكل أ ح ، ب ح فإن ( أ – ب) ح
خاصية (2): عملية الطرح على ح ليست تبديلية.
مثال: 5 ح ، 3 ح ، فإن 5 – 3 = 2 ولكن 3 – 5 = -2
5 – 3 ≠ 3 – 5
ويمكن تعميم ذلك: إذا كان أ ح ، ب ح فإن أ – ب ≠ ب – أ حيث أ ≠ ب
خاصية (3): عملية طرح الأعداد الحقيقية ليست دامجة ( تجميعية)
مثال: 5 – 2 – 3 = (5 – 2 ) – 3 = 3 – 3 = 0
5 – 2 – 3 = 5 – (2 – 3) = 5 – (-1) = 5 + 1 = 6
( 5 – 2 ) – 3 ≠ 5 – ( 2 – 3 ) .
خاصية (4): لا يوجد عنصر محايد في عملية الطرح
مثال: 0 – 5 = -5 ، 5 – 0 = 5 0 – 5 ≠ 5 – 0
ويمكن تعميم ذلك اذا كان أ
مثال: جــد قيمة
أ) – 5 -4 ب) -3 – ( -1 ) ج) -2 - د) 3 -
الحل:
أ) -5 - 4 = -9
ب) -3 -1 = -3 + (-1) = -4
ت) -2 - = (-2 – 1) = -3
ث) 3 - = (3 - 1) = 2
ج) - =
والآن عزيزي الطالب حل الأسئلة التالية:
جد قيمة أ ) -9 - 5 = ب) -2 - 2 ج) 7 - =
د) (– 3) – (-2) = هـ) - -
نشاط رقم (15)
ضرب الأعداد الحقيقية
خاصية(1): الإنغلاق:
مثال 3 ح ، - ح ، فإن 3 ×- = -1 ( بعد الاختصار) ح
ويمكن تعميم ذلك : إذا كان أ ح، ب ح فإن ( أ × ب) ح
خاصية الإبدال:
مثال: ح ، ح فإن 3 × - = -1 ح
ويمكن تعميم ذلك: إذا كان أ ح فإن × = = 2 ( بإجراء عملية الاختصار)
وكذلك × = = = 2
لذلك × = ×
ويمكن تعميم ذلك بأنه إذا كان أ ح ، ب ح فإن أ × ب = ب × أ
لذلك عملية الضرب على الأعداد الحقيقية تبديلية أو إبدالية
خاصية 3 ( الدمج ):
مثال: 5 × 2 ×- 3 = (5 × 2 ) ×- 3 = 10 ×- 3 = - 30
5 × 2 ×- 3 = 5 × (2 ×- 3 ) = 5 × (- 6) = - 30
5 × 2 ×- 3 = (5 × 2) ×- 3 = 5 × (2 ×- 3 ) = -30
ويمكن تعميم ذلك أ ، ب ، ج أعداد حقيقية فإن أ × ب × ج = (أ × ب) × ج = أ × (ب × ج )
لذلك عملية الضرب في الأعداد الحقيقية دامجة أو تجميعية .
لاحظ في عملية التجميع أن العدد أ يظهر أولاً ثم العدد ب ثانياً ثم العدد ج ثالثاً .
خاصية (4): وجود محايد ضربي .
مثال: 3 × 1 = 3 ، 1 × 3 3 ×1 = 1 × 3 = 3
ويمكن تعميم ذلك :- إذا كان أ ح فإن أ × 1 = 1 × أ = أ
خاصية (5) وجود النظير الضربي:-
مثال: 5 ح فإنه يوجد ح حيث 5 × = × 5 = 1
و يمكن تعميم ذلك: لكل أ ح ، أ ≠ . فإنه يوجد حيث أ × = × أ = 1
مثال : النظير الضربي للعدد =
خاصية (6): خاصية توزيع الضرب على الجمع و لطرح .
عزيزي الطالب تأمل المثل التالي:-
(9 × 2 ) + (9 × 7 ) = 18 + 63 = 81
9 × ( (2 + 7 ) = 9 × 9 = 81
9 × ( 2 + 7) = (9 × 2) + (9 ×7 )
و الآن عزيزي الطالب أجب الأسئلة التالية:
1) × ـــ = × ـــ = ــــ خاصية ـــــ .
2) 5 × 0 = ــــــ خاصية ـــــ .
3) × ____ = خاصية ـــــ.
4) 5 ( + ــــ) = ______ + 5 خاصية ـــــ .
5) النظير الضربي للعدد = ــــــ
نشاط رقم (16)
حل المعادلات ذات متغير واحد في ح
اقرأ الأمثلة التالية ثم أجب الأسئلة التي تليها:
مثال(1) : حل المعادلة التالية في ح
3 س2 = 27
الحل: بقسمة طرفي المعادلة على 3
=
س2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
= +
س = + 3
مثال(2) : حل المعادلة 5 س + 8 = س +
الحل : علينا أن نضع المجاهيل ( س ) في طرف والأعداد في طرف آخر .
بإضافة – س للطرفين
5 س + 8 – س = س + - س .
4س + 8 = وللتخلص من العدد 8 بإضافة -8 للطرفين
4س +8 – 8 = - 8
4 س = - 8
بقسمة طرفي المعادلة على 4
س =
س =
مثال(3): حل المعادلة 4س2 + 1 = 8
الحل : 1) نتخلص من العدد 1 وذلك بإضافة -1 للطرفين
4س2 + 1-1 = 8 -1
4س2 = 7
2) بقسمة طرفي المعادلة على 4
س2 =
س2 =
3) بأخذ الجذر الربيعي للطرفين
= + س = +
والآن عزيزي الطالب حل المعادلات الآتية:
1) 5 س – 7 = 8
2) 3س = 4 س + 6
3) 5 س2 = 75
نشاط (17)
العمليات على الجذور الصماء
اقرأ المثال التالي :
أ. جد قيمة ×
الحل : × = 2 × 5 = 10
= = 10
لذلك × = =10
ويمكن تعميم ذلك × = حيث أ ، ب ح+
و الآن عزيزي الطالب يمكنك حل النشاط 1 ص26
مثال(1): إذا كان أ = 4 فما قيمة كل من ، ( )2 ، ( )3 ،
الحل: = = = = 2
( )2 = (2)2 = 4
= = 4
( )2 =
والآن ( )3 = 32 = 2 × 2 × 2 = 8
( ) = = = 8
( )3 = ( )
وبشكل عام :
مثال(2) جد قيمة
الحل : نعلم = ×
= 8 × 6 = 48 .
مثال (3): جد قيمة × 3
الحل : × 3 = 3 × × =
3 × ( × ) = 3 × = 3
مثال(4): جد قيمة 2 ×
الحل : 2 × = 2 × ( × ) = 2 × = 2 × 3 = 6
مثال (5): -3 × 2
الحـل: -3 × ( × 2 ) = -3 × (2 × × ) = -3 × ( 2 × ) =
= -3 × 2× 2 = -12
مثال(6): جد قيمة ×
الحل : - × =
= = = = 15
مثال (7): × =
الحل : × = = = =
والآن عزيزي الطالب أجب الأسئلة التالية:
1. جد قيمة كل من :
أ ) × × ب) ( )2
ج) ( )4 د) ×
هـ) × و) × 2
ط) 4 × ع) -5 × 2
نشاط رقم (18)
ضرب الجذور التربيعية
مثال(1): جد قيمة ( + ) ( - ) =
الحل : ممكن أن نستخدم عدة طرق لإيجاد حاصل الضرب
1) بطريقة الضرب المتبعة
( + ) ( - ) = × + × -
+ × + × - = 5 - + - 3 = 2
2) الطريقة الثانية: ( + ) ( - ) =
الحد الأول من القوس الأول × الحد الأول من القوس الثاني – الحد الثاني من القوس الأول × الحد الثاني من القوس الثاني.
( + ) ( - ) = ( × ) – ( × )
= 5 – 3 = 2
3) الطريقة الثالثة (الطريقة الرأسية ) +
-
5 - 3 = 2
مثال(2):- مربع طول ضلعه ( + ) سم . جد مساحته
الحل : تعلم أن مساحة المربع = طول الضلع × نفسه = ( طول الضلع)2
مساحة المربع = ( + ) ( + ) = ( + )2
لايجاد حاصل الضرب تتبع إحدى الطرق:
1. ( + ) ( + ) = بالطريقة المتبعة التوزيعية
= × ( + ) + ( + )
= × + × + × + ×
= 3 + + + 8
= (3 + 8 ) + ( + )
= ( 11 + 2 ) سم2
الطريقة الثانية : ساحة المربع = ( + )2 وهو مقدار مربع كامل عند فكه
= مربع الحد الأول + 2 × الحد الأول × الحد الثاني + مربع الحد الثاني
= ( )2 + 2 × + ( )2
= 3 + 2 + 8
= (3 + 8 ) + 2
= ( 11 + 2 ) سم2
3) الطريقة الرأسية : مساحة المربع = ( + ) ( + )
+
+
3 + 2 + 8
( 11 + 2 ) سم2
والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التمرين الآتي :
أ) ( + ) ( - )
ب) ( - ) ( + )
ج) ( + )2
د) ( + )2
هـ) ( - 5 ) ( + 5 )
و) (4 + )2
نشاط رقم (19)
حل تدريبات على ضرب الجذور التربيعية
اقرأ الأمثلة التالية:
مثال(1) : أدخل العدد خارج الجذر إلى داخل الجذر التربيعي 3
لاحظ عزيزي الطالب أن : 3 = × =
4 = =
س = =
العدد =
والآن عزيزي الطالب نلاحظ أن العدد 3 = 3 ×
و العدد خارج الجذر هو 3 وكما نعلم أن 3 =
3 = × =
و بهذا نكون قد أدخلنا العدد خارج الجذر إلى داخل الجذر
مثال(2): أدخل العدد خارج الجذر إلى داخل الجذر
لاحظ عزيزي الطالب أن = × =
العدد النسبي =
= × = × = =
مثال(3): أدخل من خارج الجذر التربيعي إلي داخل الجذر س ص
نعلم أن س ص = =
س ص = × = = الأسس في حالة الضرب تجمع .
والآن عزيزي الطالب حل التدريبات الآتية:
1) أدخل العدد خارج الجذر إلى داخل الجذر التربيعي :
أ) 5 ب) ج) د)
هـ) أ ب و) 7 .
نشاط رقم (20)
على قسمة الجذور التربيعية
اقرأ الأمثلة الآتية:
مثال (1): إذا كان أ = 9 ، ب = 25 جد قيمة ،
الحل: = = .......1)
= = ..... 2)
من 1 ، 2 = = =
مثال(2) : جد قيمة
الحل : نعلم أن = =
مثال (3): جد قيمة 2
الحل : 2 × = 2 × = 2 = × = =
لاحظ أننا أدخلنا العدد 2 إلى داخل الجذر بمربعه)
والأن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية :
جد قيمة كل من :
1) 2) 2 3) 5 4)
5) 6 6) 3
نشاط رقم (21)
تبسيط الجذور التربيعية
مثال(1): لاحظ عزيزي الطالب أن الجذور ، ، ، ،
جذور تربيعية في أبسط صورة
هل في أبسط صورة؟
الحل : العدد = ليس في أبسط صورة لأنه (12) يمكن تحليله إلى عددين أحدهما مربع له جذر تربيعي
لاحظ أن = = × = 2
ملاحظة : يكون الجذر التربيعي في أبسط صورة عندما لا يحلل العدد تحت الجذرين إلى عددين أحدهما مربع (له جذر تربيعي) مثل ، ، .....
مثال(2): بسط
الحل : نعلم أن 45 = 9 × 5
= = × = 3
مثال 3: نقوم بتحليل العدد 147 إلي عوامله الأولية
147 = 7 × 7 × 3 = 49 × 3
= = 7
مثال4: بسط 2
= 2 × = 2 × × = 2 ×3 = 6
مثال5: بسط -3
الحل : -3 = - 3 × = وذلك بتحليل 28 = 4 × 7
- 3 = -3 × × = -3 × 2 × = -6
والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية :
ضع الجذور التالية في أبسط صورة معتمدا على التحليل :
أ ) ب) ج) د) هـ)
و) ز) ك) 3 ن) -2 ط) 3
نشاط رقم (22)
إجراء العمليات على الأعداد الغير نسبية ذات الجذور المتشابهة
تذكر أن : تسمى الأعداد الغير نسبية أعداداً ذات جذور متشابهة إذا كانت الأعداد تحت الجذر متشابهة فيها جميعاً .
مثال1: تسمى الأعداد الغير النسبية 2 ، -5 ، أعداد ذات جذور متشابهة لأن العدد تحت الجذر فيها جميعاً هو العدد 3 .
أما الأعداد ، 2 ، 3 تسمى أعداد ذات جذور تربيعية غير متشابهة
ملاحظة : يجب وضع الجذور التربيعية في أبسط صورة قبل الحكم عليها هل هي متشابهة أم لا .
الحل : نقوم عزيزي الطالب بتبسيط كل عدد غير نسبي على حدة ثم إجراء عملية التبسيط للمقدار إذا كانت الأعداد بعد التبسيط فيها جذور متشابهة .
والآن = = × = 2
= = × = 3 ( نلاحظ أن العددين 2 ، 3 متشابهان)
+ = 2 + 3
= ( 2 + 3) × = 5
مثال3: ضع المقدار الآتي في أبسط صورة
3 - 2 - 2
الحل: 3 = 3 = 3 × = 3 × 2 = 6
2 = 2 = 2 × = 2 × 5 = 10
المقدار 3 - 2 -2 = 6 - 6 - 10
= ( 6 -6 -10 ) ×
= - 10
مثال4: أكتب المقدار الآتي في أبسط صورة
- 2 -
الحل : نعلم أن = = 2
= = =
المقدار -2 - = 2 -2 - جميعها بينها جذور تربيعية متشابهة
- 2 - = 2 - 2 - لاحظ (- = -1× )
(2 – 2 -1 ) = -1 = -
والآن عزيزي الطالب حل التدريبات الآتية :
أ- بسط المقادير التالية :
1) -
2) +
3) +
ب) بسط المقادير الآتية :
1) 2 - + 3
2) 3 - 4 + 5
ج) أكتب المقادير التالية في أبسط صورة :
1) 2 -
2) 3 - +
نشاط رقم ( 23 )
التمييز بين الجذر الناطق والجذر الأصم
إنطاق مقام كسر
* إقرأ عزيزي الطالب الأمثلة الآتية:
مثال1: حدد قيمة ، ،
الحل: نلاحظ أن = 5 ، = 2 ، = س
لذلك تسمى الأعداد ، ، جذور ناطقة لأن ما بداخلها أعداد مربعة بمعنى أنه يمكن التخلص من الجذر ( أي إنطاقه ) فمثلاً = 7 ، = 8
مثال2: ماذا تلاحظ على الأعداد ، ، ، ؟
الحل: ما بداخلها ليست مربعات كاملة لذلك تسمى جذور صماء، ( لذلك لا يمكن التخلص من الجذر فلا يمكن إنطاقه).
والآن عزيزي الطالب: ضع خطاً تحت الجذر الصماء ، ، ، ،
مثال: أنطق مقام العدد
الحل: ماذا نقصد بإنطاق مقام الكسر؟
هو جعل المقام عدداً صحيحاً وذلك بالتخلص من الجذر في المقام.
كيف يمكننا أن نجعل عدداً صحيحاً ؟
يمكننا جعل عدداً صحيحاً وذلك بضربه في نفسه أي أن × = 3
يتم إنطاق المقام ( جعله عدداً صحيحاً ) بضرب حدي الكسر بسطاً ومقاماً في الجذر فقط.
أي أن × = = = 2 لاحظ أن المقام أصبح عدداً صحيحاً.
مثال3: انطق مقام الكسر -
الحل: لا نطاق المقام نضرب حدي العدد في
= = ( لاحظ أن المقام أصبح = 10 )
والآن عزيزي الطالب حل التمارين الآتية:
أ) انطق مقام كلاً من الأعداد التالية:
أ) ب) ج) د)
هـ) - و)
تعريف: العدد المرافق هو نفس العدد غير النسبي مع تغيير الإشارة للحد الثاني.
مثال 4: لاحظ عزيزي الطالب ثم أكمل الجدول:
مثال(5): انطق مقام الكسر
الحل: لكي ننطق مقام الكسر نضرب حدي الكسر في مرافق المقام وهو +
=
ملاحظة: ناتج ضرب عدد × مرافقه = الحد الأول × الحد الأول - الحد الثاني × الحد الثاني
= ( × ) + (- × )
= 5 + ( - 3 ) = 2
= =
= =
مثال6: انطق مقام الكسر
الحل : لكي ننطق مقام الكسر نضربه ( حديه في العدد المرافق) . (2 + 5)
= ×
= = = وذلك بضرب 7 في حدي
البسط (لاحظ أن المقام أصبح عدداً صحيحاً وهو -13 ( أنطقنا الكسر).
(2 - 5) (2 + 5 )
= (2 )2 - 25
= 2 × 2 - 25
= 4 × 3 – 25
= 12 – 25 = -13
مثال7: حل المعادلة 5 س – س = 3
الحل: بأخذ س عاملاً مشترك في الطرف الأيمن
س ( 5 - ) = 3
بقسمة طرفي المعادلة على 5 -
=
س =
ولإنطاق المقام نضرب حدي الكسر بمرافق المقام = 5 +
س = =
س =
ب) والأن عزيزي الطالب يمكنك حل التمارين التالية :
انطق مقام الكسور التالية :
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) حل المعادلات التالية :
أ) 5 س – س = 3 ب) س - 2 س = 3
نشاط رقم ( 24)
الجذر التكعيبي للعدد الحقيقي
تعريف: الجذر التكعيبي للعد الحقيقي أ هو العدد الحقيقي ب الذي مكعبه = أ
أي أن = ب فإن أ = ب3
إقرأ عزيزي الطالب الأمثلة التالية:
جد الجذر التكعيبي لكل من:
أ) 27 ب) 1000 ج) د) هـ) 3375
الحل: أ) 27 عدد حقيقي = 3×3×3
= = 3
= 3
ب) العدد 1000 = 10 × 10 × 10
=
= 10
ج) = = × ×
=
=
د) -1.331 = - 1 (البسط = 1 × 1000× 331)
- = 1000 + 331 = 1331
نقوم بتحليل كل من البسط و المقام إلى عوامله الأولية
-1331 = -11× -11× -11
1000 = 10× 10× 10
=
=
=
= = -1.1
هـ) العدد 3375 لإيجاد جذر التكعيبي نقوم بتحليله إلى عوامله الأولية:
3375 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3
= ( 5×3) × (5×3) × (5×3)
= 15 × 15 × 15
=
ملاحظة: يوجد للعد الحقيقي الموجب جذر تكعيبي موجب
يوجد للعد الحقيقي السالب جذر تكعيبي سالب
والآن أخي الطالب يمكنك حل التمارين التالية:
جد قيمة: أ) ب) ج)
د) 4
نشاط رقم ( 25)
استخدام قوانين الجذور التكعيبية في حل تمارين منتمية
اقرأ الأمثلة التالية:
مثال: جد قيمة ( )3
الحل: ( )3 = × × = = = 2
( )3 = 2
اذا كان أ عدد حقيقي فإن ( )3 = أ
مثال: ( )3 = 5 ، ( )3 = 11
قانون ( 2 ) = ×
مثال: = ×
= 5 × 2 = 10
قانون (3): =
مثال : جد قيمة :
الحل: = = = -0.3
والآن عزيزي الطالب حل التدريبات التالية:
جد قيمة كل مما يأتي:
أ) ( )3 ب) ( )3 ج) د)
هـ) و)
مثال ( 4 ) جد قيمة :
الحل: نجد أولاً بتحليل 729 إلى عواملها الأولية:
=
=
= 27
=
= 3
مثال: جد قيمة × ×
الحل: × × =
=
=
=
=
= 16
مثال: حل المعادلة = -5
الحل: نقوم بتكعيب طرفي المعادلة ( أي نرفع الطرفين للأس 3)
( )3 = ( -5 )3 لأن ( )3 = س حسب القانون 1
س = -5×-5×-5
س = -125
نشاط رقم ( 26 )
الفتـــرات
أولاً : الفـترة المغلقة
مثال: جد مجموعة حل المتباينة : س = } أ : أ ح ، 3 < أ < 6 {
الحل : تذكر عزيزي الطالب أنه بين أي عددين حقيقين يقع عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية .
لذلك فإن مجموعة حل المتباينة السابقة يتكون من العددين 3، 6 وجميع الأعداد الحقيقية المحصورة بينهما.
يمكننا تسمية هذه المجموعة (فترة) حيث أن الفترة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وحيث أن العددين 3، 6 ينتميا إلى هذه الفترة لذلك تسمى فترة مغلقة .
- يسمى العددان 3 ،6 بطرفي الفترة وهما هنا ينتميان إلى الفترة ويمكننا أن نرمز لتلك الفترة بالرمز ]3 ،6[ لاحظ أن 3< 6 .
- نلاحظ أن القوسان يفتحان على العددين 3،6 حيث أنهما ينتميان إلى هذه الفترة .
- كيف يمكننا تمثيل هذه الفترة على خط الأعداد؟
- الحل : نرسم خط الأعداد وعند العددين 3، 6 نرسم دائرتين مظللتين وبينهما نرسم خط سميك ليدل على الأعداد المحصورة بين العددين 3، 6 (كما هو موضح بالرسم)
-
وبشكل عام : إذا كان أ ، ب عددين حقيقين بحيث أ < ب فإن الرمز ] أ ، ب[ يعبر عن الفترة المغلقة المكونة من عددين أ ، ب وجميع الأعداد الحقيقية المحصورة بينهما كما في الشكل .
مثال : اكتب المجموعات الآتية على صورة فترة مع تمثيلها على خط الأعداد
س = } أ : أ ح ، 0 أ 7{
الحل : س = ] 0 ، 7 [
و تمثل كما هو موضح في الرسم
مثال 3: مثل الفترة ] -5 ، 1[ على خط الأعداد الحقييقة ثم حدد أياً من الأعداد .
ينتمي إلى تلك الفترة -3 ، صفر ، 2 ، - ، - ، 0.9
الحل : نمثل الفترة ]-5 ، 1[ نرسم دائرتين مغلقتين عند -5 ، 1
نلاحظ أن -3 ]-5 ، 1[ لأنه يقع بين -5 ، 1
صفر ]-5 ، 1 [ لأنه يقع بين -5 ، 1
]-5 ،1[ لأن ينحصر بين 1 ، 2
2 ] -5 ،1[
2 ]-5 ، 1[
- ]-5، 1[ لأن - ينحصر بين ، - بين -3 ، -2
0.9 ]-5 ،1[
التدريبات : والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات الآتية .
1) عبر عن المجموعات الآتية على شكل فترة ثم مثلها على خط الأعداد
س = } أ :أ ح ، 3 أ 7{
ص = }س : س ح، 0 س 5{
ع = } هـ : هـ ح ، -4 هـ 1{
ن = جميع الأوزان التي تبدأ بالوزن 30كجم وتنتهي بالوزن 70 كجم .
هـ= جميع أطوال القطع المستقيمة التي طول أقصرها 5سم وطول أطولها 20سم
2) مثل الفترة ع = ]-3 ،3 [ على خط الأعداد ثم حدد أي من الأعداد تنتمي للفترة
0 ، 4 ، -3 ، - 1.7 ،
نشاط رقم (27)
ثانياً : الفتـــرة المفتوحة
مثال: ما هي مجموعة حل المتباينة س = } أ : أ ح ، 3 < أ < 7{
الحل : مجموعة حل هذه المتباينة هي جميع الأعداد المحصورة بين 3، 7
- لاحظ أن العددان 3، 7 لا ينتميان إلى هذه المجموعة .
- يمكننا كتابة هذه المجموعة على صورة فترة [3 ، 7] لاحظ اتجاه القوسين المقابلين لطرفي 3 ، 7 ما يدل على أن 3 ، 7 دائرتين غير مظللتين ليدل على أنهما لا ينتميان لهذه الفترة ثم نرسم خط سميك بينهما .
وبوجه عام : إذا كان أ ، ب عددين حقيقين ، أ < ب فإن الرمز [أ ، ب] يستخدم للتعبير عن الفترة المكونة من جميع العناصر المحصورة بين العددين أ ، ب مع عدم انتماء العددين أ ، ب لتلك الفترة .
الخط الأسود سميك بين العددين أ ، ب يدل على جميع الأعداد الحقيقية المحصورة بين العددين أ ، ب
مثال: عبر عن المجموعة الآتية على شكل فترة س = } أ : أ ح ، -3 < أ < 2{ ثم مثلها على خط الأعداد ثم بين أي من الأعداد الآتية ينتمي إلى هذه الفترة -2 ، 0، -1 ، -3 ، 2 ، 1.8
الحل : س = ] -3 ،2 ] فترة مفتوحة ويمكن تمثيلها كما في الرسم .
-2 [ -3 ، 2]
0 [ -3 ، 2]
-1 [-3 ،2 ]
-3 [-3 ، 2] لأن الفترة مفتوحة فطرفها -3 [-3 ، 1]
1.8 ]-3 ، 2[
2 ]-3 ، 2[
والآن عزيزي الطالب يمكنك حل التدريبات التالية :
1) عبر عن المجموعات الآتية على شكل فترة ثم مثلها على خط الأعداد:
أ) س = { أ : أ ح ، 7 < أ < 10}
ب) ص = { أ : أ ح ، 0 < أ < 8 }
ج) ع = { ب : ب ح ، -2 < ب < 4}
د) ن = {و : و ح ، -5 < و < 0}
هـ) ك = {هـ : هـ ح ، -7 < هـ < -3 }
و) ط = جميع أطوال الأطفال التي تزيد عن 130سم وتقل عن 150سم .
2) مثل الفترة س = ] -3، 2 [ ثم حدد أي من الأعداد الآتية تنتمي لها
-3 ، 2 ، صفر ، -4 ، 1.5 ، ، -
3) أكتب الفترات الآتية على صورة مجموعات
س = ] 0، 9[
ع = ] -5، 6[
ك = ] -7، 0[
4) أكتب الفترة الموضحة بالرسم
أ)
ب)
ج)
ملاحظة : يستخدم الرمز ] [ للدلالة على الفترة المفتوحة.
نشاط رقم (28)
الفترة نصف المغلقة او نصف المفتوحة وتمثيلها على خط الأعداد
مثال1: إذا كان س = } أ : أ ح ، 3 أ < 7{ ما هي عناصر س؟
هل العدد 3 س ، هل العدد 7 س؟
الحـــل:
نلاحظ أن العدد 3 س بينما العدد 7 س لذلك يمكن أن نعبر عن هذه المجموعة بالفترة ] 3، 7] حيث أن العدد 3 الذي يمثل طرف الفترة إلى س بينما العدد 7 الذي يمثل الطرف الآخر س ولذلك عندما نمثل الفترة على خط الأعداد نرسم دائرة مظللة عند العدد 3
] 3 ،7] = مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي تتكون من العدد 3 وجميع الأعداد المحصورة بين 3،7 لذلك نسمي هذه الفترة فترة نصف مغلقة أو نصف مفتوحة.
مثال2: عبر عن المجموعة الآتية على شكل فترة ومثلها على خط الأعداد الحقيقية
س = } أ :أ ح ، -3 < أ 0{
الحل :- من الملاحظ أن العدد -3 س فعند كتابة (س) على صورة فترة تكتب بالرمز [-3، 0[ فهي فترة نصف مغلقة أو نصف مفتوحة وعند تمثيلها على خط الأعداد نرسم دائرة غير مظللة عند النقطة التي تمثل العدد -3، ودائرة مظللة عند النقطة التي تمثل العدد صفر وخط سميك بين العددين ليدل على جميع الأعداد الحقيقية المحصورة بين العدد -3 ، 0
تعميم : إذا كان أ ح ، ب ح ، أ < ب فإن الرمز ]أ ، ب] يستخدم للتعبير عن الفترة نصف المغلقة المكون من أ والأعداد المحصورة بين أ ، ب أما [ أ ، ب[ يستخدم للتعبير عن الفترة نصف المغلقة المكونة من ب والأعداد المحصورة بين أ ، ب 0
مثال: مثل الفترة [-4 ، 2[ على خط الأعداد وحدد أي من الأعداد الآتية ينتمي لهذه الفترة
-4 ، 2 ، 0 ، -5 ، -3.5 .
الحل : يمكن تمثيل الفترة ] -4 ، 2] كما هو موضح في الرسم .
حيث -4 ] -4 ، 2] لأن الفترة مفتوحة من الطرف -4
2 ] -4 ، 2] لأن الفترة مغلقة من الطرف -4 .
0 ] -4 ،2 ] لأن الصفر يقع بين -4، 2.
-5 ]-4 ، 2] لأن -5 لا يقع بين -4 ،2
-3.5 ] -4، 2] لأن -3.5 يقع بين -4 ،2
التدريبات : والآن عزيزي الطالب حل التدريبات الآتية
1) أكتب المجموعات الآتية على شكل فترة ومثلها على خط الأعداد :
س = { أ : أ ح ، 7 أ < 10 }
ص = { ب : ب ح ، 0 < ب 6}
ع = { ج : ج ح ، -1 ج < 1 }
2) أكتب الفترات الآتية على شكل مجموعة :
س = ] -3، 5]
ع = [ -5 ،0[
3) عبر عن المجموعة المرسومة على خط الأعداد كفترة :
4) مثل الفترة ع = [-2 ، 3[ ثم حدد أي من الأعداد الآتية ينتمي لها
-2 ، 3 ، صفر ، -1 ، 3.8 ،
نشاط رقم (29)
عملية الاتحاد على الفترات
مثال1: إذا كان ف1 = [-3، 5] ، ف2 = [2 ، 7] جد ف1 ف2
الحل : استعن عزيزي الطالب بخط الأعداد في ايجاد الفترتين .
لاحظ عزيزي الطالب أن:
ف1 ف2 = جميع الأعداد التي تتكون منها الفترة ف1 أو الفترة ف2
وكما تلاحظ المنطقة المظللة من خط الأعداد تمثل ف1 ف2 = [-3، 7]
مثال2: ف1 = [-5، 3[ ،ف2 = ] 1، -7[ جد ف1 ف2
الحل : نمثل الفترتين على خط الأعداد .
ف1 ف2 = [ -5، 7[
لاحظ أن العدد 7 ف1 ف2 لأن 7 ف1 أو 7 ف2
مثال3: ف1 = [ 2 ،6 ] ، ف2 = ] 2، -2[ جد ف1 ف2
الحل : ف1 ف2 = ] -2 ،6]
لاحظ عزيزي الطالب أن:
2 ف1 ف2 لأن 2 ف1 على الرغم من أنه 2 ف2 أما -2 ف1 ف2 لأن -2 لا ينتمي إلى أي منهما ( ف1 ، ف2) .
التدريبات : جد مستعيناً بخط الأعداد ف1 ف2
1) ف1 = [ -1 ،3 ] ، ف2 = [ 2، 5]
2) ف1 = ] -2 ، 3[ ، ف2 = [ 0، 3]
3) ف1 = [ 0 ،7 [ ، ف2 = [7 ، 10[
4) ف1 = [ -3 ،3] ، ف2 = [0 ،3 ].
نشاط رقم (30)
التقاطع على الفترات
مثال1: إذا كانت ف1 = [-3، 4] ، ف2 = [2 ، 6] جد ف1 ف2
الحل : ف1 ف2 = مجموعة الأعداد الحقيقية المشتركة بين ف1 ، ف2 .
يمكنك عزيزي الطالب الاستعانة بخط الأعداد الحقيقية .
ف1 ف2 = [ 2، 4] فترة مغلقة .
مثال2 : إذا كانت ف1 = [ -3 ، 0[ ، ف2 = ] -2 ،2 [ جد ف1 ف2
ف1 ف2 = ]-3 ،0[ ] -2، 2[
= جميع الأعداد المشتركة بين ف1 ، ف1 .
لاحظ تمثيل المجموعتين على خط الاعداد ف1 ف2 = ]-2 ، 0[ فترة مفتوحة لأن العدد -2 ف2 ، 0 ف1
مثال3: إذا كانت ف1 = ] -5 ، 3[ ، ف2 = [3 ، 6] جد ف1 ف2
الحل : يمكنك الاستعانة بخط الأعداد الحقيقية
نلاحظ أن 3 ف2 ، 3 ف1
ف1 ف2 =
والآن عزيزي الطالب حل التدريبات الآتية :
في كل مما يأتي جد ف1 ف2
1) ف1 = [ 1، 6] ، ف2 = [ 5، 8]
2) ف1 = ] -1، 3[ ، ف2 = ] 0 ،5 [
3) ف1= [ 3، 4] ، ف2 = ] 4، 7[
4) ف1 = [ 0، 8[ ، ف2 = ]0 ، 8[
5) ف1 = [ -3، 2[ ، ف2 = [0، 2]
الجبــــر
دليل الإجابات النموذجية
• اختبار المتطلبات الأساسية
السؤال الأول:
1) ، 2) 3) 4) 5)
السؤال الثاني:
1) 0.7 2) 0.019 3) 6 4) 540 6) 7 7)
7 9) 3 10) 25
السؤال الثالث:
1. أ) س = 5 ، ب) س = -4
2) 24 = 2× 2× 2× 3
3) طول ضلع المربع = = 9سم
4) 33
5) 125
الاختبار القبلي / البعدي لوحدة الأعداد الحقيقية
السؤال الأول :
1. 2( ، 3) ، 4) × ، 5) ، 6) × 7) ،
، 9) × ، 10)
السؤال الثاني:
1) ، 2) 1 ، 3) ، 4)] 1 ، 5 ، 5) 42
6) 3 = 5سم ، 7) – 2 ،
س2 ،9) ، 10) التجميع
السؤال الثالث:
1) ، 2) 3) 4) صفر 5)
6) 12سم ، 7) 6
-1 9) ] 2 ، -3 ] ، 10) 6
السؤال الرابع:
1. = 4 ÷ 11 = 0.36
2. 0.12 =
3.
4. أ) 2 ب) – 5
5- [ 2 ، 3 ]
السؤال الخامس:
1. = 6
2. × × × = 3 × 3 = 9
3. 1
4. 3
السؤال السادس :
1. س = 3
2. س =
إجابات تمارين نشاط رقم (1) جمع الأعداد الصحيحة:
أ) - 1
ب) 2
ج) 5
د) -1
ه) صفر
2-
أ) -1 ب) 1 ج)4 د) صفر
هـ) -5 و) -9 ز) -2 ع) -5
ك) 7 ط) +10 ن) -6
3- أ) -7 ب) -10 ج) -10 د)-8
4- أ) الانغلاق ب) 6، التبديل ج) 10 ، 0 العنصر المحايد الجمعي
د) -9، -9، 7،5 التجميعية (الدمج) هـ) 9، 0 المعكوس الجمعي
4/2. أ) -8 ب) 11 ج) 20 د-27 هـ) 19 و)-24
5) أ) = 8 +-8 +7 التبديلية
= (8+
+7 التجميعية والمعكوس الجمعي
= صفر + 7 المعكوس الجمعي
= 7
ب) (0 + 9 ) - 2 تجميعية ومحايد جمعي
9 -2 = 7 جمع
ت) (5+ 9) + ( 8 - 4) تجميعية
14 + 4 = 18
ث) (-7+ -3) - 2 تجميعية
-10 - 2 = -12عملية جمع
ج) (8 +9) + (11 + 2) تجميعية
17 + 13 = 4 عملية جمع
اجابات نشاط رقم(2)
1) الاجابات على الترتيب 0.28 ، -7.5 ، -3.25 ، - 0.16
نشاط رقم (3):
س1 أ) 0.1 ب) -1.83 ج) 1.3
نشاط رقم (4) - أ) ب) ت) ث)
ج) ح) خ)
نشاط رقم (5)
1) طول ضلع المربع = 3.75 سم
2)
3) أ) ب)
4)
5) 1سم2
نشاط رقم (6)
أ) 10 ، ، صفر ، 13 ، 11
2) 2، 5 ، 1 ،
نشاط رقم (7)
أ) ب) 50 ج) 0.08
2) أ) 9 ب) 1.8 ج) 24 د) + 3.2
3) طول ضلع المربع = 25سم .
نشاط رقم (
أ) 1.73 ب) 2.65 ج) 3.32 د) 6.56 هـ) 11.09 و)153.58
نشاط رقم (10) : السؤال (1)
أ) و) ×
ب) ز) ×
ج) × ح)
د) × ط)
هـ) ي) ×
2)
العدد 4
09. 2.1 1.96
الجذر التربيعي + 2 0.3 1.45 1.4
مربع العدد 16
0.0081 4.41 3.8416
نشاط رقم (11)
اجابة نشاط رقم (12)
نشاط رقم (13)
1) 3، التبديلية 2) -4 ، 7 ، الخاصية التجميعية 3)-5 ، 5 المعكوس الجمعي
نشاط رقم 1 ص21 من الكتاب أ) -2 ب)3 ج) د) 5
هـ) -0.8 و) 2.7 ز) - ح) - + 5
ط) ي) ك) +
ل) -0.4 -
اجابة نشاط رقم( 14) :
أ) -14 ب) -4 ج) 6 د) -1 هـ)
نشاط رقم (15):
1) ، التبديلية 2) صفر خاصية الضرب في العدد صفر
3) 1، العنصر المحايد الضربي 4) 1، 10، التوزيعية 5)
اجابة تمارين نشاط رقم (16) :
1. س = 3 2. س = -6 3. س = ±
نشاط رقم (17)
1/أ) 90 ب) 3 ج.4 د) 10 هـ. و) 2 ط) 28 ع) -60
نشاط رقم (18):
أ) 2 ب) -4 ج) 5+2 د) 18 + 2
هـ) -22 و) 19 +8
نشاط رقم 19:
أ) ب) ج) د) هـ) و)
نشاط رقم (20)
أ) 2) 3) 4) 5) 10 6)
نشاط رقم (21):
أ) 5 ب) 4 ج) 2 د) 5 هـ) 10
و) 5 ز) 4 ك) 9 ن) -12 ط) 6
نشاط رقم (22):
أ) 1) 2) 5 3) 5
ب) 1) 11 2) 9
ج) 1) 3 2) 18
نشاط رقم (23)
أ) ب) = - ج) د)
هـ) و)
ب) 1 ) ( ) 2) ( ) 3) ) = -
4) = 5) 6)
7) أ) س = =
ب) س = = =
نشاط رقم(24) :-
1 أ) +3 ب) 0.1 ج) 12 د) 17
نشاط رقم(25):-
1- أ) 13 ب) 5 ج) 6 د) - 400هـ) و)
اجابات نشاط (26)
1) س = [ 3 ،7 ]
2) ص = [0 ، 5]
3) ع = [ -4 ،1 ]
4) ن = [ 30، 70 ]
5) هـ = [5 ، 20]
2)
0 [ -3 ،3]
4 [ -3 ، 3]
-1.7 [ -3، 3]
[ -3 ،3 ]
- [ -3 ، 3]
1+ [ -3 ، 3]
-3 [ -3، 3]
إجابات نشاط رقم 27
2) أ) س = ]7 ، 10[
ب) ص = ]0 ، 8[
ج) ع = ] -2 ، 4[
د) ن = ] -5 ، 0[
هـ) ك = ] -7 ، -3 [
و) ط = ] 130 ، 150[
2)
-3 ] -3 ، 2[
2 ]-3 ، 2 [
صفر [ -3 ، 2[
-4 ] -3 ، 2[
1.5 ] -3 ، 2[
] -3 ، 2 [
] -3، 2[
3) س = { س : س ح ، 0 < س < 9}
ع = { س : س ح ، -5 < س <6 }
ك = { س : س ح ، -7 < س < 0}
4) أ ) ] -1 ، 2[
ب) ] -4 ،0 [
ج) ] -5، -1 [
اجابات نشاط رقم (28)
س = [ 7 ، 10[
ص = ] 0 ، 6]
ع = [ -1 ، 1[
2) س = { س : س ح ، -3 < س 5 }
ع = { س : س ح ، -5 س < 0}
3) ] -2، 2] ، [ 0 ، 5[
4)
-2 [ -2 ، 3[
3 [ -2 ، 3[
0 [ -2 ، 3[
-1 [ -2، 3[
3.8 [ -2 ، 3[
[ -2 ، 3[
اجابات نشاط رقم (29) :
1)
ف1 ف2 = [-1 ، 5]
2)
ف1 ف2 = [ -3 ، 3 ]
3)
ف1 ف2 = [0 ، 10 [
4)
ف1 ف2 = [ 3 ، -3[
اجابات نشاط رقم (30)
1) -
ف1 ف2 = [ 5 ، 6]
2)
ف1 ف2 = ] 0 ،3 [
3)
ف1 ف2 =
4)
ف1 ف2 = ] 0 ، 8 [ .
5)
ف1 ف2 = [0 ، 2[ .
موضوع: ريااااااااااااااااااااااضيات 2 
الخميس ديسمبر 02, 2010 10:54 am
